Log-normaalijakauma

Log-normaalijakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	${\text{Lognormal}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$
Parametrit	μ ∈ R σ2 > 0
Määrittelyjoukko	x ∈ R
Tiheysfunktio	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Kertymäfunktio	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}{\Big ]}$
Odotusarvo	$\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)$
Mediaani	$\exp(\mu )$
Moodi	$\exp(\mu -\sigma ^{2})$
Varianssi	$[\exp(\sigma ^{2})-1]\exp(2\mu +\sigma ^{2})$
Vinous	$(\exp(\sigma ^{2})+2){\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}$
Huipukkuus	$\exp(4\sigma ^{2})+2\exp(3\sigma ^{2})+3\exp(2\sigma ^{2})-6$
Entropia	$\log _{2}(\sigma e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }})$
Momentit generoiva funktio	määritelty vain luvuille, joilla on ei-positiivinen reaaliosa
Karakteristinen funktio	esitys $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$ hajaantuu asymptoottisesti, mutta sopii numeeristen likiarvojen laskentaan
Fisherin informaatiomatriisi	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/2\sigma ^{4}\end{pmatrix}}$

Log-normaalijakauma eli logaritminormaalijakauma on toden­näköisyys­laskennassa sellaisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma, jonka logaritmi on normaalisti jakautunut. Toisin sanoen, jos satunnais­muuttuja $X$ on log-normaalisti jakautunut, niin $Y=\ln {X}$ on normaalisti jakautunut, ja jos $X$ on normaalisti jakautunut, niin $Y=e^{X}$ on log-normaalisti jakautunut. Log-normaalisti jakautunut satunnais­muuttuja voi saada vain positiivisia reaali­luku­arvoja. Jakauma on käyttökelpoinen malli monille fysikaalisille, teknisille, taloustieteellisille ja muilla aloilla esiintyville muuttujille.

Jakaumaa nimitetään toisinaan myös Galtonin jakaumaksi Francis Galtonin mukaan. Muita siihen toisinaan yhdistettyjä nimiä ovat McAlister, Gibrat ja Cobb-Douglas.

Todennäköisyyslaskennan keskeisen raja-arvolauseen mukaan monen riippumattoman satunnaismuuttujan summa noudattaa sitä tarkemmin normaalijakaumaa, mitä enemmän näitä satunnaismuuttujia on. Samaan tapaan tarpeeksi monen toisistaan riippumattoman satunnaismuuttujan tulolla on taipumus noudattaa log-normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Log-normaalijakaumalla on myös suurin entropia niistä jakaumista, joilla on tietty odotusarvo ja varianssi.

Määritelmä

Jakauman muodostaminen ja parametrit

Olkoon $Z$ standardinormaalijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja, ja olkoot $\mu$ ja $\sigma >0$ kaksi reaalilukua. Silloin satunnais­muuttujan

$X=e^{\mu +\sigma Z}$

jakaumaa sanotaan log-normaalijakaumaksi parametrein $\mu$ and $\sigma$. Nämä parametrit ovat tällöin jakauman luonnollisen logaritmin odotusarvo ja keskihajonta, mutta eivät itse jakauman $X$ odotusarvo ja varianssi.

Normaalijakauman ja logaritminormaalijakauman välinen yhteys. Jos $Y=\mu +\sigma Z$ on normaalisti jakautunut, on $X\sim e^{Y}$ logaritminormaalisti jakautunut.

Tämä yhteys pätee logaritmi- tai eksponenttifunktion kantaluvusta riippumatta. Jos $\log _{a}(X)$ on normaalisti jakautunut, samoin on myös $\log _{b}(X)$, olivatpa $a$ ja $b$ mitkä tahansa positiiviset luvut ($\neq q$. Samoin jos $e^{Y}$ on log-normaalisti jakautunut, samoin on satunnaismuuttujan $a^{Y}$ laita, kun $0<a\neq 1$.

Sellaisen jakauman muodostamiseksi, jolla on haluttu odotusarvo $\mu _{X}$ ja varianssi $\sigma _{X}^{2}$, on valittava $\mu =\log \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}\right)$ ja $\sigma ^{2}=\log \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right)$

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää "multiplikatiivisia" eli "geometrisia" parametreja $\mu ^{*}=e^{\mu }$ ja $\sigma ^{*}=e^{\sigma }$. Niillä on suorempi tulkinta: $\mu ^{*}$ on jakauman mediaani, ja $\sigma ^{*}$ liittyy jakauman leviämiseen jäljempänä selitettävällä tavalla.

Tiheysfunktio

Positiivinen satunnais­muuttuja X on log-normaalisti jakautunut, jos X:n logaritmi on normaalisti jakautunut, jolloin

$\ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).$

Olkoon $\Phi$ normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio ja $\varphi$ sen tiheysfunktio. Tällöin saadaan:

${\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}{\text{P}}(X\leq x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}{\text{P}}(\ln X\leq \ln x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \,}}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).\end{aligned}}$,

missä esimerkiksi ${\text{P}}(X\leq x)$ tarkoittaa todennäköisyyttä sille, että satunnaismuuttujan X arvo on pienempi kuin x.

Kertymäfunktio

Log-normaalijakauman kertymäfunktio on

$F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)$

missä $\Phi$ on normeeratun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio.

Virhefunktion $\operatorname {erfc} \left(x\right)$ avulla kertymäfunktio voidaan esittää muodossa:

${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

missä erfc on komplementaarinen virhefunktio erfc(x) = 1 - erf(x).

Useamman muuttujan lognormaalijakauma

Jos${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})$ on useamman muuttujan normaalijakauma, niin funktio ${\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}})$ noudattaa useamman muuttujan logaritmista normaalijakaumaa., jonka odotusarvo on

$\operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},$

ja kovarianssimatriisi

$\operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).$

Useamman muuttujan logaritminormaalijakauma ei kuitenkaan ole kovin yleisessä käytössä, minkä vuoksi jäljempänä rajoitutaan käsittelemään yhden muuttujan jakaumaa.

Karakteristinen funktio ja momentit generoiva funktio

Logaritmisella normaalijakaumalla on kaikki momentit, ja

$\operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$

Tämä voidaan johtaa sijoittamalla integraaliin $z={\frac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}$. Kuitenkaan odotusarvo $\operatorname {E} [e^{tX}]$ ei ole määritelty millään argumentin $t$ positiivisella arvolla, koska sen määrittelevä integraali hajaantuu. Sen vuoksi logaritmisella normaalijakaumalla ei myöskään ole momentit generoivaa funktiota. Tähän liittyy se, että logaritmisen normaalijakauman momentit eivät yksikäsitteisesti määrittele jakaumaa.

Karakteristinen funktio $\operatorname {E} [e^{itX}]$ on määritelty reaaliarvoille $t$, mutta ei sellaisille kompleksiluvuille, joilla on negatiivinen imaginaariosa, minkä vuoksi karakteristinen funktio ei ole analyyttinen origossa. Tämän vuoksi logaritmisen normaalijakauman karakteristista funktiota ei voida esittää päättymättömänä suppenevana sarjana. Erityisesti sen muodollinen Taylorin sarja

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$

hajaantuu. Funktiolle on kuitenkin voitu muodostaa vaihtoehtoisia hajaantuvia sarjaesityksiä.

Karakteristiselle funktiolle $\varphi (t)$ ei tunneta suljetussa muodossa esitettävää lauseketta. Sille saadaan kuitenkin hyviä likiarvoja lausekkeesta

$\varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}$

missä $W$ on Lambertin W-funktio. Tämä likiarvo voidaan johtaa asymptoottisella menetelmällä, mutta se pätee likimäärin kaikilla $t$:n arvoilla, joilla $\varphi (t)$ suppenee.

Ominaisuuksia

Geometriset eli multiplikatiiviset momentit

Logaritmisen normaalijakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskiarvo on $\operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}$. Se on samalla jakauman mediaani. Jakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskihajonta on $\operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}$. Analogisesti aritmeettisten tilastollisten tunnuslukujen kanssa voidaan määritellä geometrinen varianssi $\operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}$, ja myös geometrista variaatiokerrointa $\operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1$ on ehdotettu. Viimeksi mainitun olisi tarkoitus olla analoginen tavallisen variaatiokertoimen kanssa lognormaalin aineiston tapauksessa, mutta tällä määritelmällä ei ole sellaista teoreettista perustaa, että sen perusteella voitaisiin arvioida itse variaatiokerrointa $\operatorname {CV}$.

On huomattava, että geometrinen keskiarvo on aina pienempi kuin sen aritmeettinen keskiarvo. Tätä tosiasiaa sanotaan aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi, ja se kuvastaa sitä tosiasiaa, että logaritmi­funktion kuvaaja on ylöspäin kupera. Itse asiassa pätee yhteys

$\operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.$

Liikealalla termiä $e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ tulkitaan toisinaan kuperuus­korjaukseksi. Stokastisen analyysin kannalta kyseessä on sama korjaus­termi kuin geometrista Brownin liikettä koskevassa Itôn lemmassa.

Aritmeettiset momentit

Kun $n$ on mikä tahansa reaali- tai kompleksiluku, lognormaalisti jakautuneen satunnais­muuttujan $X$ n:s momentti on

$\operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.$

Erityisesti lognormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan $X$ aritmeettinen keskiarvo, odotusarvo, aritmeettinen varianssi ja aritmeettinen keskihajonta ovat:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=(\operatorname {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}$.

Jakauman aritmeettinen variaatiokerroin $\operatorname {CV} [X]$ määritellään sen keskihajonnan ja keskiarvon suhteena:

${\frac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}$.

Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa se on:

$\operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.$

Tätä tulosta sanotaan joskus "geometriseksi variaatiokertoimeksi" (engl. Geometric coefficient of variation, GCV). Aritmeettisesta keskihajonnasta poiketen se on aritmeettisesta keskiarvosta riippumaton.

Parametrien $\mu ;$ ja $\sigma ;$ arvot voidaan laskea, jos aritmeettinen keskiarvo ja varianssi tunnetaan:

${\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Momentit $E[X^{n}]=e^{n\mu ;+{\frac {1}{2}}\sigma ;^{2}}$ eivät määritä toden­näköisyys­jakaumaa yksi­käsitteisesti. Toisin sanoen on muitakin jakaumia, joilla on samat momentit. Itse asiassa on koko joukko jakaumia, joilla on samat momentit kuin logaritmisella normaali­jakaumalla.

Moodi, mediaani ja kvantiilit

Kahden vinoudeltaan toisistaan poikkeavan logaritmisen normaali­jakauman odotus­arvot, mediaanit ja moodit

Jakauman moodi on piste, jossa sen tiheys­funktio saa suurimman arvonsa. Erityisesti se toteuttaa yhtälön $(\ln f)'=0$, josta saadaan:

$\operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.$

Koska logaritmisesti muunnettu muuttuja $Y=\ln X$ on normaalisti jakautunut ja koska kvantiilit säilyvät monotonisissa muutoksissa, muuttujan $X$ kvantiilit ovat:

$q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},$

missä $q_{\Phi }(\alpha )$ on standardin normaalijakauman kvantiili.

Erityisesti logaritmisen normaalijakauman mediaani on sama kuin sen geometrinen keskiarvo.

$\operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}.$

Osittainen odotusarvo

Satunnaismuuttujan $X$ osittainen odotusarvo kynnysarvon $k$ suhteen määritellään seuraavasti:

$g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx.$

Vaihtoehtoisesti se voidaan kirjoittaa ehdollisen odotusarvon avulla muotoon $g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)$. Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa osittainen odotusarvo on:

$g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)$

missä $\Phi$ on normaalijakauman kertymäfunktio. Osittaisen odotusarvon kaavalla on käyttöä vakuutusalalla ja taloustieteessä, ja sen avulla ratkaistaan Black–Scholesin kaavaan johtava osittaisdifferentiaaliyhtälö.

Ehdollinen odotusarvo

Log-normaalin satunnaismuuttujan $X$ ehdollinen odotusarvo kynnysarvon $k$ suhteen on sen osittainen odotusarvo jaettuna sen kumulatiivisella todennäköisyydellä olla tällä välillä:

${\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}$

Vaihtoehtoisia parametrointeja

Log-normaalijakauma määritetään tavallisimmin parametrien $\mu ,\sigma$ tai $\mu ^{*},\sigma ^{*}$ avulla, mutta vaihtoehtoisesti se voidaan parametroida useilla muillakin tavoilla. Todennäköisyysjakaumien tietokanta ProbOnto tuntee kaikkiaan seitsemän muuta tapaa parametroida log-normaalijakauma:

Yhteenveto log-normaalien jakaumien parametroinneista

• Normal1(μ,σ), parametreina odotusarvo μ ja keskihajonta σ

  $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

• LogNormal2(μ,υ), parametreina odotusarvo μ ja varianssi υ, molemmat logaritmisella asteikolla

  $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-(\log x-\mu )^{2}}{2v}}\right]$

• LogNormal3(m,σ), parametreina mediaani m lineaarisella asteikolla ja keskihajonta σ logaritmisella asteikolla

  $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-[\log(x/m)]^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

• LogNormal4(m,cv), parametreina mediaani m ja variaatiokerroin cv, molemmat lineaarisella asteikolla

  $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\log(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-[\log(x/m)]^{2}}{2\log(cv^{2}+1)}}\right]$

• LogNormal5(μ,τ), parametreina odotusarvo μ ja tarkkuus τ, molemmat logaritmisella asteikolla.

  $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[{-{\frac {\tau }{2}}(\log x-\mu )^{2}}\right]$

• LogNormal6(m,σ_g), parametreina mediaani m ja geometrinen keskihajonta σ_g, molemmat lineaarisella asteikolla

  $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\log(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-[\log(x/m)]^{2}}{2\log ^{2}(\sigma _{g})}}\right]$

• LogNormal7(μ_N,σ_N), parametreina odotusarvo μ_N ja keskihajonta σ_N, molemmat lineaarisella asteikolla

  $P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \log \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left({\frac {-{\Big [}\log(x)-\log {\Big (}{\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big )}{\Big ]}^{2}}{2\log {\Big (}1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}{\Big )}}}\right)$

Esimerkkejä uudelleenparametroinneista

Tarkastellaan tilannetta, jossa samaa aineistoa halutaan mallintaa kahdella tavalla käyttämällä kahta erilaista optimointivälinettä, esimerkiksi PFIM and PopED. Näistä edellinen tukee LN2-, jälkimminen LN7-parametrointia. Siksi tarvitaan uudelleenparametrointia, sillä muutoin mallit johtaisivat eri tuloksiin.

Muunnokselle $LN2(\mu ,v)\rightarrow LN7(\mu _{N},\sigma _{N})$ pätevät kaavat: $\mu _{N}=\exp(\mu +v/2){\text{ and }}\sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}$.

Muunnokselle $LN7(\mu _{N},\sigma _{N})\rightarrow LN2(\mu ,v)$ taas pätevät kaavat: $\mu =\log {\Big (}\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}{\Big )}{\text{ and }}v=\log(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})$.

Muut uudelleenparametrointikaavat löytyvät ProbOnto -tietokannasta.

Monikerta, käänteisarvo ja potenssit

• Vakiolla kertominen: Jos $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, niin $aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})$.
• Käänteisarvo: If $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, niin${\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2})$.
• Potenssi: If $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, niin $X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})$, kun $a\neq 0$.

Log-normaalisti jakautuneiden satunnaismuuttujien kerto- ja jakolasku

Jos kaksi riippumatonta log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, $X_{1}$ ja $X_{2}$, kerrotaan keskenään, niiden tulo on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina $\mu =\mu _{1}+\mu _{2}$ ja $\sigma$, missä $\sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}$. Tämän avulla voidaan helposti muodostaa useammankin log-normaalin satunnaismuuttujan tulon jakauma: Jos $X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})$ ovat $n$ riippumatonta, log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, niin $Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.$

Jos taas log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja $X_{1}$, jonka parametrit ovat $\mu _{1}$ ja $\sigma _{1}$, jaetaan toisella siitä riippumattomalla log-normaalisti jakautuneella satunnaismuuttujalla $X_{2}$, jonka parametrit ovat $\mu _{1}$ ja $\sigma _{1}$, näiden osamäärä on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina $\mu =\mu _{1}-\mu _{2}$ ja $\sigma$.

Multiplikatiivinen keskeinen raja-arvolause

Samalla tavalla jakautuneiden riippumattomien positiivisten satunnaismuuttujien $X_{i}$ multiplikatiivinen eli geometrinen keskiarvo noudattaa logaritmista normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Tätä tulosta sanotaan multiplikatiiviseksi keskeiseksi raja-arvolauseeksi, ja se seuraa suoraan todennäköisyyslaskennan keskeisestä raja-arvolauseesta, kun sitä sovelletaan muuttujiin, jotka saadaan alkuperästen satunnaismuuttujien logaritmeina.

Muuta

Log-normaalijakaumaa noudattavalla aineistolla on symmetrinen Lorenzin käyrä.

Jakauman harmoninen ($H$), geometrinen ($G$) ja aritmeettinen keskiarvo ($A$) liittyvät toisiinsa seuraavasti:

$H={\frac {G^{2}}{A}}.$

Log-normaalit jakaumat ovat äärettömästi jaollisia,, mutta eivät stabiileja jakaumia.

Yhteydet muihin jakaumiin

• Jos $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ on normaalisti jakautunut, niin $\exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).$
• Jos $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ on jakautunut log-normaalisti, niin $\ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ on jakautunut normaalisti.
• Olkoot $X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})\$ riippumattomia log-normaaleja jakaumia, joilla mahdollisesti on erisuuret parametrit $\sigma$ ja $\mu$, ja okoon $Y=\textstyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}$. Tällöin $Y$:n jakaumaa ei voida esittää suljetussa muodossa, mutta sitä voidaan sen oikeassa päässä approksimoida toisella log-normaalilla jakaumalla $Z$. Sen tiheysfunktion muoto tunnetaan myös 0:n läheisyydessä missä se ei muistuta mitään log-normaalia jakaumaa. Sille saadaan L. F. Fentonin tunnetuksi tekemä, mutta R.I. Wilkinsonin jo aikaisemmin esittämä ja Marlowin matemaattisesti perustelema likiarvo) käyttämällä toisen log-normaalin jakauman keskiarvoa ja varianssia:

${\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}$

Jos kaikilla muuttujilla $X_{j}$ on sama varianssiparametrin arvo $\sigma _{j}=\sigma$, nämä kaavat yksinkertaistuvat muotoon

${\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}$

Vielä parempia likiarvoja voidaan saada arvioimalla jakauman tiheys- ja kertymäfunktiota Monte Carlo menetelmällä.

• Jos $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, niin muuttujan $X+c$ jakaumaa sanotaan kolmiparametriseksi log-normaaliksi, ja se on jakautunut välille $x\in (c,+\infty )$. $\operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c$, $\operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]$.
• Log-normaalijakauma on erikoistapaus puolittain rajoitetusta Johnsonin jakaumasta.
• Jos $X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)\,$ with $Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, niin $X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )$ (Suzukin jakauma).
• Lognormaalijakaumalle saadaan likiarvo, jonka integraali voidaan esittää alkeisfunktioiden avulla, käyttämällä sen määritelmässä normaalijakauman sijasta logistista jakaumaa. Tällöin jakauman kertymäfunktioksi saadaan:

$F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.$

Tämä on log-logistinen jakauma.

Tilastollisia päätelmiä

Parametrien estimointi

Lognormaalijakauman parametrien μ ja σ suurimman uskottavuuden estimaattorien määrittämiseksi voidaan käyttää samaa menetelmää, jolla ne määritellään normaalijakaumalle. Voidaan todeta, että

$L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i})$,

missä $\varphi _{}$ on normaalijakauman ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ tiheysfunktio. Niinpä log-normaalijakauman uskottavuusfunktio on

$\ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})$.

Koska tässä ensimmäinen termi on vakio μ:n ja σ: suhteen, molemmat logaritmiset uskottavuusfunktiot, $\ell$ ja $\ell _{N}$, saavat maksiminsa samoilla $\mu$:n ja $\sigma$:n arvoilla. Niinpä suurimman uskottavuuden estimaattorit ovat samat kuin normaalijakaumalle havaintoarvoilla $\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})$,

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.$

Äärellisillä n:n arvoilla näillä estimaattoreilla esiintyy systemaattinen virhe. Tämä virhe on tosin ${\widehat {\mu }}$:n osalta häviävän pieni, mutta $\sigma$:lle saadaan vähemmän vääristynyt arvo korvaamalla ${\widehat {\sigma }}^{2}$:n yhtälössä nimittäjä n arvolla n-1.

Jos yksittäisiä arvoja $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ei tunneta mutta aineiston keskiarvo ${\bar {x}}$ ja keskihajonta s tunnetaan, vastaavat parametrit saadaan seuraavista kaavoista, jotka on muodostettu ratkaisemalla $\mu$ ja $\sigma$ odotusarvon $\operatorname {E} [X]$ ja varianssin $\operatorname {Var} [X]$ yhtälöistä:

$\mu =\ln \left({\bar {x}}\ {\Big /}\ {\sqrt {1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}\right)$.

Tilastollisia tunnuslukuja

Log-normaalisti jakautunutta aineistoa voidaan tehokkaimmin analysoida soveltamalla logaritmisesti muunnettuun aineistoon normaalijakaumaan perustuvia tunnettuja metodeja ja suorittaa sen jälkeen tuloksille käänteinen muunnos.

Hajontavälit

Tyypillisen esimerkin tästä muodostavat hajontavälit. Normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on noin kahden kolmasosan (68 %) todennäköisyydellä välillä $[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$ ja noin 95 %:n todennäköisyydellä välillä $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$. Sen vuoksi log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on

välillä $[\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]$ todennäköisyydellä 2/3 ja

välillä $[\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]$ todennäköisyydellä 95 %

Käyttämällä estimoituja parametreja suunnilleen samat prosenttiosuudet log-normaalisti jakautuneesta aineistosta on näillä väleillä.

$\mu ^{*}$:n luottamusväli

Samalla periaatteella todetaan, että $\mu$:n luottamusväli on $[{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]$, missä $\mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}$ on standardipoikkeama ja q Studentin t-jakauman 97,5 prosentin kvantiili, vapausasteluvulla n-1. Käänteisellä muunnoksella saadaan $\mu ^{*}$:n luottamusväliksi

$[{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]$ with $\operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}$

Entropian ääriarvoperiaate vapaan parametrin $\sigma$ määrittämiseksi

• Sovelluksissa $\sigma$ on määritettävä parametri. Kasvuproseseissa, joissa tuotto ja häviö tasapainottavat, saadaan Shannonin ääriarvoperiaatetta soveltamalla:

${\begin{aligned}\sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}\end{aligned}}$

• Tämän arvon avulla voidaan muodostaa skaalausrelaatio lognormaalijakauman maksimikohdan ja käännepisteiden välille. Osoittautuu, että tämän yhteyden määrittää Neperin luku, ja sillä on tiettyjä geometrisia yhtäläisyyksiä minimipintaenergiaperiaatteen kanssa.
• Nämä skaalausrelaatiot ovat osoittautuneet käyttökelpoisiksi useiden kasvuprosessien ennustamisessa. Sellaisia ovat esimerkiksi epidemioiden leviäminen, kiinteälle pinnalle muodostuvien nestepisaroiden laajeneminen, väestön kasvu, pyörteen syntyminen pesuallasta tyhjennettäessä, kielen piirteiden levinneisyys, turbulenssin nopeusprofiili ja monet muut.

• Arvon $\sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}$ avulla saadaan probabilistinen ratkaisu Draken epäyhtälölle.

Esiintyminen ja sovelluksia

Log-normaalijakaumaa voidaan soveltaa moniin luonnonilmiöihin. Tyypillisessä tapauksessa sen käyttö voidaan perustella seuraavasti: Monet luonnon kasvuilmiöt muodostuvat suuresta määrästä pieniä muutoksia, joissa kohteen koko kasvaa pienen prosenttimäärän verran entisestään. Tällaiset muutokset kumuloituvat multiplikatiivisesti, mutta logaritmisella asteikolla additiivisesti. Jos jokaisen yksittäisen muutoksen vaikutus on mitättömän pieni, keskeinen raja-arvolauseen mukaan niiden summan jakauma on lähempänä normaalijakaumaa kuin yksittäisten muutoksen jakauma. Tästä seuraa, että kasvavien kohteiden koon logaritmilla on taipumus noudattaa normaalijakaumaa, jolloin koko itse noudattaa log-normaalijakaumaa. Tosin jos jakauman keskihajonta on tarpeeksi pieni, normaalijakaumaa voidaan käyttää sillekin hyvänä likiarvona.

Tämä keskeisen raja-arvolauseen multiplikatiivinen versio tunnetaan myös Gibratin lakina, Robert Gibratin (1904–1980) mukaan, joka muotoili sen liikeyrityksille. Jos näiden pienten muutosten kertymisnopeus ei vaihtele ajan kuluessa, kasvu tulee koosta riippumattomaksi. Vaikka näin ei tapahtuisikaan, minkä tahansa ajan kuluessa kasvavan suureen jakaumalla on taipumus muodostua logartminormaaliksi.

Toinen perustelu jakauman käytölle on, että perustavien luonnonlakien mukaan monien suureiden arvot saadaan kertomalla ja jakamalla positiivisia muuttujia. Esimerkkeinä voidaan mainita gravitaatiolaki, jonka mukaisesti voima määräytyy kappaleiden massojen ja niiden etäisyyden mukaan, tai kemikaalien konsentraatiot liuoksessa tasapainon vallitessa, jotka määräytyvät lähtöaineiden alkutilanteessa vallinneiden konsentraation mukaan. Tällaisia tilanteita voidaan mallintaa olettamalla, että muuttujat noudattavat logaritmista normaalijakaumaa.

Silloinkin kun edellä esitetyt perustelut eivät päde, logaritminen normaalijakauma on usein uskottava ja empiiristen havaintojen mukaan pätevä malli. Esimerkkeinä voidaan mainita:

• Ihmisten käyttäytymisestä:
  • Internetin keskustelupalstoille lähetettyjen kommenttien pituuden on todettu noudattavan logaritmista normaalijakaumaa.
  • Aika, jonka käyttäjät pitävät verkosta lukemaansa artikkelia tai uutissivua auki, noudattaa myös logaritmista normaalijakaumaa.
  • Shakkipelierien kestolla on taipumus noudattaa logaritmista normaalijakaumaa.
  • Vääntöjen lukumäärä Rubikin kuutiota ratkaistaessa, sekä yleisesti että kullakin ratkaisijalla erikseen, näyttää noudattavan log-normaalia jakaumaa.

• Biologian ja lääketieteen alalta:
  • Elävien kudosten mitat kuten pituus, nahan pinta-ala ja paino.
  • Nopeasti leviävissä epidemioissa kuten SARS:issa vuonna 2003 sairaalassa hoidettujen tapausten lukumäärän on voitu todeta noudattavan log-normaalijakaumaa ilman vapaita parametreja, jos entropialla on tunnettu arvio ja keskihajonta voidaan määrittää entropian tuotannon maksimiperiaatteella.
  • Karvojen, kynsien ja hampaiden pituus niiden kasvusuunnassa noudattaa log-normaalijakaumaa.
  • Normalisoitu RNA-sekvenssin pituutta millä tahansa genomialueella voidaan hyvin approksimoida log-normaalijakaumalla.
  • Tietyt fysiologiset mittaustulokset kuten aikuisten ihmisten verenpaine noudattavat log-normaalijakaumaa, erikseen miehillä ja naisilla.
  • Neurotieteissä ärsykkeiden kulkua neuronien välillä approksimoidaan usein log-normaalijakaumalla. Tämä havaittiin ensin aivokuoressa ja aivojuoviossa, myöhemmin myös hippokampuksessa ja muualla aivoissa.

• Kolloidien ja polymeerien kemiassa:
  • Hiukkasten koon jakaumat
  • Moolimassojen jakaumat.

Tämän vuoksi terveiltä henkilöiltä tehtyjen mittausten viitearvot voidaan asianmukaisemmin määritellä olettamalla suureiden noudattavan logaritmista normaalijakaumaa kuin olettamalla niiden jakautuneen symmetrisesti keskiarvon molemmin puolin.

Eri vuosien suurimmat yhdessä päivässä saadut sademäärät sovitettuina kumulatiiviseen logaritminormaalijakaumaan

• Hydrologiassa logaritmista normaalijakaumaa käytetään mallinnettaessa esimerkiksi kuukauden tai vuoden suurinta yhdessä päivässä tullutta sademäärää tai jokien virtaamaa.

Oikealla oleva CumFreq:illä tehty kuva esittää esimerkkiä log-normaalijakauman sovittamisesta eri vuosien suurimpiin yhden päivän sademääriin, ja se osoittaa myös binomijakaumaan perustuvan 90%:n luottamusvälin.

Sadanta-aineistoa kuvaa kaavioon merkityt pisteet osana kumulatiivista frekvenssianalyysiä.

• Yhteiskuntatieteissä ja demografiassa:
  • Todisteet viittaavat siihen, että väestön valtaosan (97%–99%) tulot ovat jakautuneet log-normaalisti. (Sitä vastoin kaikkein suurituloisimpien tulot noudattavat Pareton jakaumaa.
  • Finanssialalla, varsinkin Black–Scholes-mallissa vaihtokurssien, hintaindeksien ja osakekurssi-indeksien muutosten logaritmien oletetaan olevan normaalisti jakautuneet. Nämä muuttujat nimittäin käyttäytyvät kuin koronkorko, eivät yksinkertaisen koron tavoin, ja ovat näin ollen multiplikatiivisia. Kuitenkin jotkut matemaatikot kuten Benoit Mandelbrot ovat väittäneet, että logaritminen Lévyn jakauma raskaine "häntineen" olisi parempi malli varsinkin pörssiromahdusten analysointiin. Itse asiassa osakekurssien jakaumilla usein on paksu "häntä". Tämä pörssiromahduksia kuvaava paksuhäntäinen jakauma ei toteuta keskeisen raja-arvolauseen edellytyksiä.
  • Skientometriikassa on todettu, että tieteellisiin artikkeleihin tai patentteihin tehtyjen viittausten lukumäärä nopudattaa diskreettiä log-normaalia jakaumaa.
  • Kaupunkien asukaslukujen on väitetty noudattavan log-normaalijakaumaa.

• Teknologiassa
  • Luotettavuusanalyysissä lognormaalijakaumaa käytetään usein mallina sille, kuinka monta kertaa ylläpidettävää systeemiä on korjattava.
  • Langattomassa tiedonsiirrossa paikallinen keskiteho ilmaistuna logaritmisella asteikolla kuten desibeleinä tai nepereinä noudattaa normaalijakaumaa. Myös suurten rakennusten ja kukkuloiden radiosignaaleille aiheuttamaa varjostusta mallinnetaan usein log-normaalijakaumalla.
  • Julkisesti saatavilla olevien video- ja äänitiedostojen koko noudattaa log-normaalijakaumaa viiden suuruusluokan välillä.
  • Tietokoneverkoissa ja Internet-tietoliikenteen analyysissä log-normaalijakauma on osoittautunut hyväksi tilastolliseksi malliksi liikenteen määrälle aikayksikköä kohti. Tämä on todettu soveltamalla tehokasta tilastollista lähestymistä suuriin ryhmiin todellisia Internet-jälkiä. Tässä yhteydessä log-normaalijakauman on todettu toimivan hyvin kahdessa tärkeässä käyttöyhteydessä: (1) ennakoitaessa sitä, kuinka suuren osan ajastaan liikenne ylittää tietyn rajan (palvelutasosopimuksissa tai linkin kapasiteetin arvioinnissa) sekä (2) ennustettaessa 95 %:n kvantiilihinnoittelua.

Lähteet

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma