Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
Virhefunktion kuvaaja Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista .kenen mukaan? todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa . Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon . Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti .
Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisinlähde?
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
Virhefunktio on pariton funktio
erf
(
−
x
)
=
−
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)\,}
ja jos funktion argumentti on kompleksiluku , kompleksikonjugaatille on voimassa
erf
(
z
∗
)
=
(
erf
(
z
)
)
∗
{\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=(\operatorname {erf} (z))^{*}\,}
Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on
erf
(
x
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
n
!
=
2
π
(
x
−
x
3
3
+
x
5
10
−
x
7
42
+
x
9
216
−
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä
d
d
x
erf
(
x
)
=
2
π
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}
ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla
d
n
d
x
n
erf
(
x
)
=
(
−
1
)
n
−
1
2
π
H
n
−
1
(
x
)
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {erf} (x)=(-1)^{n-1}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}H_{n-1}(x)e^{-x^{2}}}
missä
H
k
(
x
)
{\displaystyle H_{k}(x)}
k
{\displaystyle k}
Hermiten polynomi . Virhefunktiolla on myös integraali
∫
erf
(
x
)
d
x
=
x
erf
(
x
)
+
e
x
2
π
{\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)dx=x\;\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä
erf
−
1
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
2
n
+
1
(
π
2
x
)
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{2n+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2n+1}}
missä
c
n
=
∑
m
=
0
n
−
1
c
m
c
n
−
1
−
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
,
c
0
=
1
{\displaystyle c_{n}=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {c_{m}c_{n-1-m}}{(m+1)(2m+1)}},\;c_{0}=1}
Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion
Φ
(
x
)
{\displaystyle \Phi (x)}
e
r
f
(
x
)
=
2
Φ
(
x
)
−
1
{\displaystyle erf(x)=2\Phi (x)-1}
Φ
(
x
)
=
erf
(
x
)
+
1
2
{\displaystyle \Phi (x)={\frac {\operatorname {erf} (x)+1}{2}}}
Molempien funktioiden raja-arvo , kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta
lim
x
→
−
∞
Φ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\Phi (x)=0}
kun taas
lim
x
→
−
∞
erf
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {erf} (x)=-1}
Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.
Virhefunktion komplementin kuvaaja. Virhefunktion komplementti määritellään
erfc
(
x
)
=
1
−
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)\,}
tai yhtäpitävästi integraalina
erfc
(
x
)
=
∫
x
∞
e
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=\int _{x}^{\infty }e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t}
ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön
d
2
y
d
x
2
+
2
x
d
y
d
x
−
2
y
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}-2y=0}
Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa
d
d
x
erfc
(
x
)
=
−
2
π
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}
ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia
∫
erfc
(
x
)
d
x
=
x
erfc
(
x
)
−
e
−
x
2
π
{\displaystyle \int \operatorname {erfc} (x)dx=x\;\operatorname {erfc} (x)-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
