Black–Scholes-malli

Black–Scholes-malli, Black–Scholes–Merton-malli tai BSM-malli on rahoituksessa käytettävä optioiden hinnoittelumalli, jonka ovat kehittäneet tutkijat Fischer Black ja Myron Scholes vuonna 1973 ilmestyneessä tieteellisessä artikkelissaan: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Black–Scholes-malli tarjoaa ratkaisun eurooppalaisen osakkeen osto-option hinnan määrittelemiselle. Blackin ja Scholesin mukaan option arvo riippuu useasta eri tekijästä: kohde-etuuden arvosta, lunastushinnasta, riskittömästä korkokannasta, erääntymisajasta sekä kohde-etuuden tuoton volatiliteetista.

Historiallinen tausta

Tieteellinen perusta optioiden hinnoittelumallin syntymiselle juontaa juurensa 1960- ja 1970-lukujen taitteeseen. Tuohon aikaan professorit Fischer Black ja Myron Scholes alkoivat kehittämään matemaattista yhtälöä eurooppalaisen option arvon määrittämiseksi ja myöhemmin Robert Merton kehitti ja laajensi mallia. Rahoituksen akateeminen yhteisö on pitänyt Blackin ja Scholesin sekä Mertonin kehittämää optioiden hinnoittelumallia ”tieteellisenä läpimurtona”, ja sillä on ollut ”merkittävä vaikutus” siihen, miten kaupankäynnin kohteena olevia optiosopimuksia vielä nykypäivänäkin hinnoitellaan rahoitusmarkkinoilla. Scholes ja Merton palkittiinkin optioiden hinnoitteluteorian parissa tehdystä työstä taloustieteiden Nobel-palkinnolla vuonna 1997. BSM-mallin seurauksena laajamittainen optiokaupankäynti johdannaispörsseissä oli mahdollista.

Mallin lähtöoletukset

Ennen eurooppalaisen osto-option matemaattisen hinnoittelumallin tasapainoyhtälön johtamista Black ja Scholes tarkastelivat ”ideaaleja olosuhteita” teoreettisen mallinsa tueksi ja tekivät muutamia yksinkertaistavia oletuksia rahoitusmarkkinoista ja option kohde-etuudesta.

1. Optio on tyyliltään eurooppalainen, mikä tarkoittaa sitä, ettei option lunastaminen ennen sopimuksen voimassaoloajan erääntymistä eli maturiteettia ole mahdollista.
2. Optiosopimuksen kohde-etuutena oleva osake ei maksa osinkoja tai muita preemioita option voimassaoloaikana.
3. Osakkeen hintakehitys noudattaa ennalta-arvaamatonta satunnaiskulkua, tarkemmin ilmaistuna Wienerin prosessin omaista geometrista Brownin liikettä. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että optiosopimuksen hinnoittelemisen yhteydessä täyttyvät Eugene Faman määrittelemän markkinoiden tehokkuuden heikot ehdot. Lisäksi osakkeen hinnanmuutokset ovat riippumattomia ja ne noudattavat symmetristä normaalijakaumaa, eikä äkillisiä ja voimakkaita kurssiheilahteluja ole.
4. Osakkeiden tuottojen volatiliteetti säilyy muuttumattomana vakiona jopa yli ajan.
5. Riskittömän korkokannan taso on tunnettu kaikkien sijoittajien keskuudessa ja se säilyy vakiona option voimassaoloajan ajan. Lisäksi lainan ottamisen ja antamisen määrää ei ole rajoitettu millään tavalla.
6. Arvopapereiden kaupankäynti on alati jatkuvaa, lyhyeksi myynti on mahdollista, eikä markkinoilla ole transaktiokustannuksia eikä veroja.
7. Rahoitusmarkkinoilla ei ole olemassa riskittömiä arbitraasimahdollisuuksia.

Teoreettinen viitekehys

Näillä taustaoletuksilla Black ja Scholes johtivat eurooppalaisten optioiden hinnoittelumallinsa matemaattisen yhtälön:

$C_{0}=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2})$

missä

$C_{0}$ = osto-option nykyinen arvo

$S_{0}$ = option kohde-etuuden eli osakkeen nykyinen hinta

$N(d)$ = normaalijakauman kertymäfunktion arvo

$X$ = option toteutus- tai lunastushinta (engl. strike price tai exercise price)

$e$ = luonnollisen logaritmin kantaluku eli Neperin luku

$r$ = riskitön korkokanta muunnettuna jatkuvalla korkolaskulla vuotuiseksi

$T$ = option voimassaoloaika vuosina ennen sopimuksen erääntymistä eli maturiteettia

$\sigma$ = kohde-etuuden tuoton volatiliteetti

Lisäksi komponentit $N(d_{1})$ ja $N(d_{2})$ ovat

$d_{1}={\frac {ln({\frac {S_{0}}{X}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T}}}}$

$d_{2}={\frac {ln({\frac {S_{0}}{X}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T}}}}-\sigma {\sqrt {T}}$

eli lyhyemmin ilmaistuna

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}$

Oheisella kaavalla voidaan laskea eurooppalaisen osto-option teoreettinen arvo viiden tekijän funktiona. Intuitiivisesti tarkasteltuna osto-option hinta $C_{0}$ on yhtä suuri kuin kohde-etuutena olevan osakkeen nykyinen hinta $S_{0}$, josta vähennetään option lunastushinnan nykyisyyteen diskontattu arvo $X^{-rT}$.

Eurooppalaisten ja amerikkalaisten optiosopimusten teoreettiseen arvoon vaikuttavat tekijät

Muuttuja	Eurooppalainen optio		Amerikkalainen optio
	osto-optio (call)	myyntioptio (put)	osto-optio (Call)	myyntioptio (Put)
Kohde-etuuden nykyisen hinnan kasvu, $S_{0}$	$+$	$-$	$+$	$-$
Toteutushinnan kasvu, $X$	$-$	$+$	$-$	$+$
Voimassaoloajan eli maturiteetin piteneminen, $T$	$?$	$?$	$+$	$+$
Volatiliteetin kasvu, $\sigma$	$+$	$+$	$+$	$+$
Riskittömän korkotason nousu, $r$	$+$	$-$	$+$	$-$
Kohde-etuutena olevan osakkeen osingonjako, $D$	$-$	$+$	$-$	$+$

Muuttujien arvon kasvaminen vaikuttaa joko option arvoa alentavasti (miinusmerkki, $-$), option arvoa kasvattamalla (yhteenlaskumerkki, $+$) tai vaikutus option arvoon on tuntematon tai arvaamaton (kysymysmerkki, $?$). Esimerkiksi markkinakorkojen nouseminen kasvattaa väistämättä myös Blackin ja Scholesin hinnoittelumallin diskonttauskorkoa, mikä taas puolestaan johtaa option toteutushinnan nykyarvon laskemiseen kasvattaen osto-option arvoa ja heikentäen myyntioption arvoa. Kohde-etuuden hinnanvaihtelun eli volatiliteetin kasvu sen sijaan lisää sekä osto- että myyntioption teoreettista arvoa, oli kyseessä sitten eurooppalainen tai amerikkalainen optiosopimus.

Katso myös

• Markkinoiden tehokkuus
• Capital Asset Pricing -malli
• Portfolioteoria
• Johdannainen
• Optio