Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan ei-negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin niiden geometrinen keskiarvo. Muodollisesti, jos pätee $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0$, niin on voimassa

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$.

Jos lukujen $x_{i}$ oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin $1/x_{1},1/x_{2},\cdots ,1/x_{n}$, saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö

${\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$.

Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö yleistää hieman aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sen mukaan, jos $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja ja $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, joiden summa on yksi, on

$\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\ldots +\lambda _{n}a_{n}\geq a_{1}^{\lambda _{1}}a_{2}^{\lambda _{2}}\cdots a_{n}^{\lambda _{n}},$

eli

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}a_{i}^{\lambda _{i}}.$

Sovelluksia

Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön avulla voidaan todistaa vaikkapa eksponenttifunktion olevan äärellinen kaikilla reaaliluvuilla: Todistetaan ensin, että $\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\leq e^{x}.$ Määritellään $a_{n}=(1+{\frac {x}{n}})^{n}$, jolloin on riittävää osoittaa että $a_{n}$ on kasvava kun $n>|x|$. Tämä seuraa, kun valitaan aritmeettis-geometrisessa epäyhtälössä n kappaletta lukuja $1+{\frac {x}{n}}$ ja kerran $1$. Toisaalta epäyhtälö $e^{x}\leq \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{-n}$ seuraa edellisestä, kun epäyhtälössä kirjoitetaan $x$:n paikalle $-x$.

Yleistyksiä

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Olkoot epänegatiiviset luvut $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ja epänegatiiviset painot $w_{1}\ldots ,w_{n}$ annettu. Asetetaan $w=\sum _{i=1}^{n}w_{i}$. Jos $w>0$, on voimassa

${\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}$

ja yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos kaikki $x_{k}$, joilla $w_{k}>0$, ovat yhtäsuuria. Tässä on oletettu, että $0^{0}=1$.

Jos kaikki $w_{k}=1$, epäyhtälö palautuu tavalliseksi aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi.

Muita aritmeettis-geometrisen epäyhtälön yleistyksiä ovat Muirheadin epäyhtälö, Maclaurinin epäyhtälö sekä potenssikeskiarvoepäyhtälö.