Määrittelyjoukko

Määrittelyjoukko on matematiikassa nimitys funktion arvojen laskemisessa käytettävästä lukujoukosta.

Funktio on kuvaus lukujoukosta X joukkoon Y, mikä merkitään usein f: X → Y. Tässä joukko X on lähtöjoukko ja Y maalijoukko. Lähtöjoukon luvut x ovat kuvauksessa funktion lausekkeen argumentteja eli ne sijoitetaan lausekkeen muuttujan paikalle. Sijoitetun lausekkeen laskettu arvo y, jota kutsutaan myös funktion arvoksi, on maalijoukon luku. Tällöin merkitään f(x) = y .

Annettu lähtöjoukko voi olla funktiolle liian suuri eli se voi sisältää lukuja, joilla ei haluta tai joilla ei voi laskea funktion lausekkeelle arvoa. Tällöin karsitaan lähtöjoukosta pois nämä luvut niin, että jäljelle jää vain halutut tai sallitut luvut. Tätä joukkoa kutsutaan määrittelyjoukoksi.

Vaikka funktion yleisen määritelmän mukaan lähtöjoukon ei tarvitse olla lukujoukko, vaan se voi koostua vaikkapa ihmisten nimistä tai kolikonheiton tuloksista, ajatellaan tässä alkioita lukuina.

Laajin määrittelyjoukko sisältää kaikki ne lähtöjoukon luvut, joilla funktio voidaan laskea. Joskus määrittelyjoukkoon jätetään vain sellaisia lukuja, joita yksittäisessä tilanteessa tarvitaan. Määrittelyjoukko on tällöin osajoukko laajimmasta määrittelyjoukosta. Funktion määrittelyjoukko voi siten vaihdella tilanteen mukaan.

Luonnollinen määrittelyjoukko koostuu sellaisista luvuista, jotka sopivat funktion luonteeseen. Jos funktio määrittelee nopan heittojen lukumäärän perusteella onnistumisen todennäköisyyden, on luonnollista käyttää argumenttina (heittojen lukumäärä) vain positiivisia kokonaislukuja eikä reaalilukuja.

Esimerkkejä

Neliöjuuri-funktio: Neliöjuuren voi laskea vain ei-negatiivisilla luvuilla, joten määrittelyjoukosta tulee poistaa negatiiviset luvut.

Suurin mahdollinen määrittelyjoukko voidaan päätellä funktion ominaisuuksista.

Neliöjuurifunktiota $f(x)={\sqrt {x}}$ ei ole määritelty negatiivisille luvuille. Siksi neliöjuurifunktion määrittelyjoukko muodostetaan poistamalla reaaliluvuista negatiiviset luvut. Määrittelyjoukkoon jää silloin luvut $[0,\infty [$ ja kuvaus voidaan esittää

$f:[0,\infty [\to \mathbb {R}$.

Käänteislukufunktio $g(x)={\frac {1}{x}}$ voidaan laskea kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Määrittelyjoukko saadaan silloin reaalilukujoukosta poistamalla siitä luku 0. Kuvaus voidaan silloin esittää

$g:\mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\to \mathbb {R}$

Tangenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla (kulmilla) paitsi ${\frac {\pi }{2}}$:n \pi:n monikerroilla. Sallitut luvut ovat ne, jotka toteuttavat epäyhtälön

$x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z}$

Lähteet

• Wolfram Mathworld: Domain
• PurpleMath: Domain and Range

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.