Yhtenäisyys

$\mathbb {R} ^{2}$:n yhtenäisiä ja
epäyhtenäisiä aliavaruuksia

Yhtenäisyys on yksi topologisen avaruuden ominaisuuksista. Avaruuden sanotaan olevan yhtenäinen, jos siinä ei ole kahta sellaista erillistä ei-tyhjää avointa joukkoa, joiden yhdiste on koko avaruus. Jos avaruus ei ole yhtenäinen, se on epäyhtenäinen.

Toisin sanoen avaruus M on epäyhtenäinen, jos se koostuu mielivaltaisten, ei-tyhjien avointen joukkojen pistevieraista unioneista eli on olemassa sellaiset M:n avoimet osajoukot A ja B, että

• $M=A\cup B$
• $A\neq \emptyset \neq B$
• $A\cap B=\emptyset$

Yhtenäisyyttä vahvempi ominaisuus on polkuyhtenäisyys.

Topologisen avaruuden X' osajoukko on yhtenäinen joukko, jos se X:n aliavaruutena on yhtenäinen avaruus.

Esimerkiksi taso on yhtenäinen avaruus, mutta jos siitä poistetaan yksi molemmissa päissä äärettömiin ulottuva suora, jäljelle jäävä tason osa on epäyhtenäinen. Myös jos tasosta poistetaan kahden samankeskisen ympyrän väliin jäävä rengas­mainen alue, jäljelle jäävä tason osa on epä­yhtenäinen, samoin kahden erillisen suljetun kiekon yhdiste.

Muodollinen määritelmä

Topologisen avaruuden X sanotaan olevan epäyhtenäinen, jos se on kahden erillisen ei-tyhjän avoimen joukon yhdiste. Muussa tapauksessa X:n sanotaan olevan yhtenäinen. Topologisen avaruuden osajoukkoa sanotaan yhdisteeksi, jos se on yhtenäinen alkuperäisen avaruuden aliavaruutena. Joskus määritellään lisäksi, että tyhjä joukko ainut­laatuisine topologioineen ei ole yhtenäinen, mutta tässä artikkelissa ei noudateta tätä käytäntöä.

Topologiselle avaruudelle X seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät:

1. X on yhtenäinen, eli sitä ei voida jakaa kahdeksi erilliseksi ei-tyhjäksi avoimeksi joukoksi.
2. X:ää ei voida jakaa kahdeksi erilliseksi ei-tyhjäksi suljetuksi joukoksi.
3. Ainoat X:n osajoukot, jotka ovat sekä avoimia että suljettuja, ovat X ja tyhjä joukko.
4. Ainoat X:n osajoukot, joiden reuna on tyhjä, ovat X ja tyhjä joukko.
5. X:ää ei voi muodostaa kahden erillisen ei-tyhjän erillisen joukon yhdisteenä, toisin sanoen joukkoja, joista kummallakaan ei ole yhteisiä pisteitä toisen joukon sulkeumankaan kanssa.
6. Kaikki jatkuvat kuvaukset X:stä joukkoon {0,1} ovat vakioita, kun {0,1} on kahden pisteen avaruus varustettuna diskreetillä topologialla.

Myös seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät:

1. $X$ on epäyhtenäinen.
2. On olemassa $X$:n separaatio $X=A\mid B$.

Yhtenäiset komponentit

Seuraavassa järjestysrelaationa käytetään joukkojen inkluusiota, toisin sanoen joukon A sanotaan olevan "suurempi" kuin B, jos B on A:n osajoukko. Ei-tyhjän joukon edellä sanotussa mielessä suurimpia yhtenäisiä osajoukkoja (jotka siis eivät ole minkään yhtenäisen joukon aitoja osajoukkoja) sanotaan avaruuden yhtenäisiksi komponenteiksi tai lyhemmin komponenteiksi.

Jokaisen topologisen avaruuden X komponentit muodostavat X:n osituksen: ne ovat erillisiä ja ei-tyhjiä, ja niiden unioni on koko avaruus.

Jokainen komponentti on alku­peräisen avaruuden suljettu osajoukko. Tästä seuraa, että jos niiden lukumäärä on äärellinen, ne kaikki ovat myös avoimia joukkoja. Jos komponentteja on äärettömän monta, asia ei kuitenkaan välttämättä ole näin; esimerkiksi rationaalilukujen joukon komponentit käsittävät kukin vain yhden pisteen (yhden luvun) eivätkä ole avoimia.

Olkoon $\Gamma _{x}$ se topologisen avaruuden X komponentti, johon piste x kuuluu, ja $\Gamma _{x}'$ kaikkien sellaisten joukkojen leikkaus, joihin x kuuluu ja jotka ovat sekä avoimia että suljettuja. Sitä sanotaan x:n kvasi­komponentiksi. Silloin $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$. Pisteen x kvasi­komponentti sisältyy siis kokonaisuudessaan samaan avaruuden komponenttiin. Jos avaruus on kompakti Hausdorff-avaruus tai lokaalisti yhtenäinen, kaikkien pisteiden kvasi­komponentit ovat samalla myös avaruuden komponentteja.

Epäyhtenäiset avaruudet

Jos avaruuden kaikki komponentit käsittävät kukin vain yhden pisteen, sitä sanotaan täysin epä­yhtenäiseksi.

Tälle sukua on käsite täydellinen separaatio. Avaruudella X sanotaan olevan täydellinen separaatio, jos sen mille tahansa kahdelle pisteelle x ja y voidaan valita erilliset avoimet ympäristöt U ja V, niin että $x\in U$, $y\in V$ ja $U\cup V=X$. Jos avaruudella on täydellinen separaatio, se on selvästikin täysin epäyhtenäinen, mutta ei välttämättä päin vastoin. Esimerkkinä voidaan käsitellä avaruutta, joka saadaan muodostamalla rationaalilukujen joukosta $\mathbb {Q}$ kaksi kopiota ja yhdistämällä ne samastamalla kummankin muun joukon kaikki toisiaan vastaavat pisteet nollaa lukuun ottamatta. Tuloksena saatu avaruus varustettuna tekijätopologialla on täysin epäyhtenäinen. Tarkastelemalla kahta nollapisteen kopiota voidaan kuitenkin todeta, että kyseessä ei ole täydellinen separaatio. Itse asiassa tämä avaruus ei ole edes Hausdorff-avaruus, ja avaruudella voi olla täydellinen separaatio vain, jos se on Hausdorff-avaruus.

Esimerkkejä

• Reaalilukujen joukko $\mathbb {R}$ on yhtenäinen, samoin kaikki euklidiset avaruudet $\mathbb {R} ^{n}$, missä n on positiivinen kokonaisluku.
• Reaaliakselin avoimet ja suljetut välit ovat yhtenäisiä. Tosin se voidaan muodostaa esimerkiksi välien [0, 1] ja [1, 2] yhdisteenä, mutta näistä jälkimmäinen ei ole avoin joukko avaruudessa [0, 2].
• Kahden avoimen välin yhdiste S = (0, 1) ∪ (1, 2) on epäyhtenäinen reaalilukujen osajoukko, koska piste 1 ei kuulu joukkoon
• T = (0, 1] ∪ (1, 2) on yhtenäinen reaalilukujen joukossa
• Jos tasosta poistetaan yksi molemmissa suunnissa äärettömiin jatkuva suora, jäljelle jäävä tason osa ei ole yhtenäinen.
• Taso, josta on poistettu kahden saman­keskisen ympyrän välinen alue, ei ole yhtenäinen.
• Kahden erillisen suljetun kiekon yhdiste ei ole yhtenäinen.
• Rationaalilukujen joukko $\mathbb {Q}$ ei ole yhtenäinen. Esimerkiksi joukot ${x\in \mathbb {Q} |x<0\vee x^{2}<2}$ ja ${x\in \mathbb {Q} |x^{2}>2}$ ovat molemmat avoimia, ja yhdessä ne käsittävät koko $\mathbb {Q}$:n (koska ${\sqrt {2}}$ ei ole rationaali­luku).
• Jokainen kupera joukko on yhtenäinen ja samalla yhdesti yhtenäinen.
• Jos euklidisesta tasosta poistetaan origo eli piste (0, 0), jäljelle jäävä tason osa on yhtenäinen, mutta ei yhdesti yhtenäinen. Jos kolmiulotteisesta yhtenäisestä avaruudesta poistetaan origo, jäljelle jäävä osa on yhtenäinen ja myös yhdesti yhtenäinen. Jos taas suorasta poistetaan yksi nollapiste, jäljelle jäävä osa ei ole yhtenäinen.
• Jos joukosta $\mathbb {R}$ poistetaan mikä tahansa piste (luku), jäljelle jäävä joukko on epäyhtenäinen. Sen sijaan vaikka joukosta $R^{n}$, kun n≥2 poistettaisiin ääretön mutta numeroituva määrä pisteitä, jäännös on edelleen yhtenäinen.
• Jokainen diskreetti avaruus, jossa on vähintään kaksi pistettä, on epäyhtenäinen ja lisäksi täysin epäyhtenäinen. Yksin­kertaisin tällainen avaruus on diskreetti kahden pisteen avaruus.
• Äärellinenkin avaruus saattaa olla yhtenäinen. Esimerkiksi diskreetin valuaatiorenkaan spektri käsittää vain kaksi pistettä ja on yhtenäinen. Se on esimerkki Sierpińskin avaruudesta.
• Cantorin joukko on täysin epäyhtenäinen. Koska siihen kuuluu ylinumeroituva määrä pisteitä, sillä on myös ylinumeroituva määrä komponentteja.
• Jos avaruus X on homotooppisesti ekvivalentti yhtenäisen avaruuden kanssa, X itsekin on yhtenäinen.
• Topologin sinikäyrä on yhtenäinen, mutta ei polku­yhtenäinen eikä lokaalisti yhtenäinen.
• Yleinen lineaarinen ryhmä $\operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )$ (toisin sanoen niiden reaalisten n × n -matriisien ryhmä, joilla on käänteismatriisi), muodostuu kahdesta komponentista: toisen niistä muodostavat ne matriisit, joiden determinantti on positiivinen, toisen ne, joiden determinantti on negatiivinen. Tämä avaruus ei siis ole yhtenäinen. Sen sijaan $\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )$ on yhtenäinen. Yleensäkin kääntyvien rajoitettujen operaattorien joukko kompleksisessa Hilbertin avaruudessa on yhtenäinen.

Polkuyhtenäisyys

Pääartikkeli: Polkuyhtenäisyys

Tämä $\mathbb {R} ^{2}$:n aliavaruus on polkuyhtenäinen, koska mitkä tahansa kaksi sen pistettä voidaan yhdistää polulla.

Topologisessa avaruudessa X polku pisteestä x pisteeseen y on sellainen jatkuva kuvaus f väliltä [0,1] X:ään, että f(0) = x ja f(1) = y. Se, että on olemassa polku pisteestä x pisteeseen y, on avaruuden pisteiden välinen ekvivalenssirelaatio, ja tämän ekvivalenssi­relaation ekvivalenssi­luokkia sanotaan avaruuden polku­komponenteiksi. Avaruutta X sanotaan polkuyhtenäiseksi, jos siinä on vain yksi polku­komponentti eli mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää toisiinsa polulla. Joskus määritellään tässäkin erikseen, että tyhjä joukko ei ole polkuyhtenäinen.

Jokainen polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. On kuitenkin olemassa yhtenäisiä avaruuksia, jotka eivät ole polku­yhtenäisiä; sellaisia ovat esimerkiksi pitkä suora L* sekä topologin sinikäyrä.

Reaalilukujen joukon $\mathbb {R}$ osajoukot kuitenkin ovat yhtenäisiä, jos ja vain jos ne ovat polkuyhtenäisiä. Tällaisia joukkoja ovat yksialkioiset joukot sekä avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit, mukaan luettuna sellaiset välit, jotka jommassa­kummassa tai molemmassa päässä ulottuvat äärettömyyteen.

Myös $\mathbb {R} ^{n}$:n ja $\mathbb {C} ^{n}$:n avoimet osajoukot ovat yhtenäisiä, jos ja vain jos ne ovat polku­yhtenäisiä. Samoin on laita äärellisten topologisten avaruuksien osajoukkojen.

Kaariyhtenäisyys

Avaruutta X sanotaan kaariyhtenäiseksi, jos sen mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää kaarella, toisin sanoen sellaisella polulla f joka on homeomorfismi yksikkövälin [0, 1] ja sen kuvan f([{0, 1] välillä. Voidaan osoittaa, että jokainen Hausdorff-avaruus, joka on polku­yhtenäinen, on myös kaariyhtenäinen. Esimerkki avaruudesta, joka on polku­yhtenäinen mutta ei kaariyhtenäinen, saadaan lisäämällä ei-negatiivisten reaalilukujen joukkoon [0, ∞) toinen nollapiste 0'. Tässä avaruudessa voidaan määritellä osittainen järjestysrelaatio määrittämällä, että 0'<a kaikilla positiviivisilla luvuilla a, mutta että luvuista 0 ja 0' kumpikaan ei ole toista suurempi tai pienempi. Sen jälkeen tämä joukko voidaan varustaa järjestystopologialla, joka saadaan asettamalla avoimet välit (a, b) = {x | a < x < b} ja puoliavoimet välit [0, a) = {x | 0 ≤ x < a}, [0', a) = {x | 0' ≤ x < a} topologian kannaksi. Näin saatu avaruus on T₁-avaruus, mutta ei Hausdorff-avaruus. Selvästikin tämän avaruuden pisteet 0 ja 0' voidaan yhdistää polulla, mutta ei kaarella.

Lokaali yhtenäisyys

Pääartikkeli: Lokaalisti yhtenäinen avaruus

Topologista avaruutta sanotaan lokaalisti yhtenäiseksi pisteessä x, jos jokainen pisteen x ympäristö sisältää yhtenäisen avoimen ympäristön. Avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jos sillä on yhtenäisten joukkojen muodostama kanta. Voidaan osoittaa, että avaruus X on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos sen jokaisen avoimen osajoukon jokainen komponentti on avoin. Topologin sinikäyrä on esimerkki yhtenäisestä avaruudesta, joka ei ole lokaalisti yhtenäinen.

Vastaavasti topologista avaruutta sanotaan lokaalisti polku­yhtenäiseksi, jos sillä on polku­yhtenäisten joukkojen muodostama kanta. Lokaalisti polku­yhtenäisen avaruuden avoin osajoukko on yhtenäinen, jos ja vain jos se on polkuyhtenäinen. Tämä on yleistys edellä esitetystä tuloksesta, jonka mukaan $\mathbb {R} ^{n}$ ja $\mathbb {C} ^{n}$ ovat lokaalisti polku­yhtenäisiä. Myös kaikki topologiset monistot ovat lokaalisti polku­yhtenäisiä.

Esimerkkejä yhtenäisten joukkojen yhdisteistä ja leikkauksista Venn-diagrammeilla esitettyinä. Vasemmassa yläkulmassa $A\cup B$ on epäyhtenäinen, oikeassa yläkulmassa yhtenäinen. Vasemmassa alakulmassa $A\cap B$ on yhtenäinen, oikeassa alakulmassa epäyhtenäinen.

Sen enempää lokaalista yhtenäisyydestä kuin lokaalista polku­yhtenäisyydestä­kään ei välttämättä seuraa yhtenäisyys eikä polku­yhtenäisyys. Esimerkiksi avaruus $(0,1)\cup (2,3)$, joka on kahden avoimen välin yhdiste, on lokaalisti yhtenäinen ja lokaalisti polku­yhtenäinen, mutta ei yhtenäinen eikä polku­yhtenäinen.

Joukko-operaatiot

Yhtenäisten joukkojen leikkaus ei välttämättä ole yhtenäinen.

Kuvan jokainen soikio on yhtenäinen joukko, mutta niiden yhdiste ei ole yhtenäinen, sillä se voidaan jakaa kahteen erilliseen avoimeen joukkoon U ja V.

Myöskään yhtenäisten joukkojen yhdiste ei välttämättä ole yhtenäinen. Tarkastellaan esimerkkinä yhtenäisten joukkojen kokoelmaa $\{X_{i}\}$, joiden yhdiste on $X=\cup _{i}{X_{i}}$. Jos $X$ on epäyhtenäinen ja $U\cup V$ avaruuden $X$ separaatio, jossa $U$ ja $V$ ovat erillisiä avoimia joukkoja $X$:ssä, jokaisen $X_{i}$:n sisältyy kokonaan joko joukkoon $U$ tai $V$, sillä muussa tapauksessa $X_{i}\cap U$ ja $X_{i}\cap V$ muodostaisivat $X_{i}$:n separaation, mikä on vastoin oletusta, että se on yhtenäinen.

Tämä merkitsee, että jos yhdiste $X$ on epäyhtenäinen, kokoelma $\{X_{i}\}$ voidaan jakaa kahteen alikokoelmaan niin, että alikokoelmien yhdisteet ovat erillisiä ja avoimia joukkoja $X$:ssä, kuten oheisessa kuviossa. Eräissä erityistapauksissa tästä seuraa, että yhtenäisten joukkojen yhdiste on yhtenäinen. Erityisesti:

1. Jos kokoelman kaikkien joukkojen leikkaus ei ole tyhjä, niiden yhdiste on yhtenäinen.
2. Jos yksikään kahden joukon leikkaus ei ole tyhjä ($\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$), joukkoja ei voida jakaa kahteen kokoelmaan, joiden yhdisteet olisivat toisistaan erillisiä, ja näin ollen niiden yhdiste on yhtenäinen.
3. Jos joukot voidaan järjestää "yhdistetyksi ketjuksi", toisin sanoen ne voidaan indeksoida kokonais­luvuilla niin, että $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$, niiden yhdiste on yhtenäinen.
4. Jos joukot ovat pareittain erilliset ja tekijäavaruus $X/\{X_{i}\}$ on yhtenäinen, myös $X$ on yhtenäinen. Muussa tapauksessa jos $U\cup V$ olisi $X$:n separaatio, niin $q(U)\cup q(V)$ olisi tekijäavaruuden separaatio (koska $q(U),q(V)$ ovat erillisiä ja avoimia tekijäavaruudessa.

Kaksi yhtenäistä joukkoa, joiden erotus ei ole yhtenäinen

Yhtenäisten joukkojen joukkoerotus ei välttämättä ole yhtenäinen. Kuitenkin jos X⊇Y ja niiden erotus X\Y epäyhtenäinen (ja voidaan siten muodostaa kahden avoimen joukon yhdisteenä $X_{1}\cup X_{2}$), on unionin Y ja jokaisen X\Y:n komponentin leikkaus yhtenäinen.

Tämä voidaan todistaa seuraavasti:
Tehdään vastaoletus, että Y∪X1 ei ole yhtenäinen. Silloin se voitaisiin muodostaa kahden erillisen avoimen joukon yhdisteenä: Y∪X1 = Z1∪Z2. Koska Y on yhtenäinen, sen täytyy kokonaisuudessaan sisältyä jompaankumpaan näistä komponenteista. Nyt tiedetään, että:

X = (Y∪X1)∪X2 = (Z1∪Z2)∪X2 = (Z1∪X2)∪(Z2∩X1)

Viimeisessä yhdisteessä yhdistetyt joukot ovat erillisiä ja avoimia X:ssä, ja näin ollen olemassa X:n separaatio, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että X on yhtenäinen. Näin ollen Y∪X1:n täytyy olla yhtenäinen.mot.

Lauseita

• Päälause. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja f: X → Y jatkuva kuvaus. Jos X on yhtenäinen, myös sen kuva f(X) on yhtenäinen, ja jos X on polkuyhtenäinen, myös sen kuva f(X) on polkuyhtenäinen. Tätä tulosta voidaan pitää väliarvolauseen yleistyksenä.
• Jokainen polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen.
• Jokainen lokaalisti polkuyhtenäinen avaruus on lokaalisti yhtenäinen.
• Lokaalisti polku­yhtenäinen avaruus on polku­yhtenäinen, jos ja vain jos se on yhtenäinen.
• Topologisen avaruuden yhtenäisen osajoukon sulkeuma on yhtenäinen.
• Yhtenäiset komponentit ovat aina suljettuja, mutta eivät välttämättä avoimia.
• Lokaalisti yhtenäisen avaruuden komponentit ovat myös avoimia.
• Avaruuden yhtenäiset komponentit ovat polkuyhtenäisten komponenttien erillisiä yhdisteitä. (Polkukomponentit eivät välttämättä ole sen enempää avoimia kuin suljettujakaan.)
• Yhtenäisen avaruuden jokainen tekijäavaruus on yhtenäinen. Samoin lokaalisti yhtenäisen avaruuden jokainen tekijäavaruus on lokaalisti yhtenäinen, polkuyhtenäisen avaruuden jokainen tekijäavaruus polkuyhtenäinen ja lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden jokainen tekijäavaruus lokaalisti polkuyhtenäinen.
• Yhtenäisten joukkojen karteesinen tulo varustettuna tulotopologialla on yhtenäinen. Samoin polku­yhtenäisten joukkojen karteesinen tulo on polku­yhtenäinen.
• Jokainen lokaalisti yhtenäisen avaruuden avoin osajoukko on lokaalisti yhtenäinen. Samoin jokainen lokaalisti polku­yhtenäisen avaruuden avoin osajoukko on lokaalisti polkuyhtenäinen.
• Jokainen monisto on lokaalisti polkuyhtenäinen.

Graafit

Graafeilla on lokaalisti polku­yhtenäisiä osajoukkoja, nimittäin ne osajoukot, joiden sisällä mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää sen kaarista muodostuvalla polulla. Mutta aina ei ole mahdollista muodostaa pisteiden joukolle topologiaa, jossa samat joukot olisivat yhtenäisiä. Esimerkiksi 5-syklissä se ei käy päinsä, kuten ei missään muussakaan n-syklissä, kun n on pariton ja suurempi kuin 3.

Näin ollen yhtenäisyyden käsite voidaan muotoilla riippumatta avaruuden topologiasta. Tämän ymmärtämiseksi tarkastellaan niiden konnektiivisten avaruuksien kategoriaa, jotka muodostuvat konnektiivisuus­aksioomat toteuttavien yhtenäisten osajoukkojen kokoelmien joukoista; niiden morfismeja ovat ne funktiot, jotka kuvaavat yhtenäiset joukot yhtenäisiksi joukoiksi. Topologiset avaruudet ja graafit ovat tällöin molemmat erikois­tapauksia konnektiivisista avaruuksista; itse asiassa äärellisiä konnektiivisia avaruuksia ovat äärelliset graafit ja vain ne.

Toisaalta jokainen graafi voidaan yksikäsitteisellä tavalla muuntaa topologiseksi avaruudeksi käsittelemällä sen solmuja pisteinä ja kaaria yksikkövälin kopioina. Tällöin voidaan osoittaa, että graafi on yhtenäinen (graafi­teoreettisessa mielessä), jos ja vain jos se on yhtenäinen topologisenä avaruutena.

Vahvempia yhtenäisyyden muotoja

Topologisille avaruuksille on olemassa vahvempia yhtenäisyyden mjuotoja, esimerkiksi:

• Jos topologisessa avaruudessa X ei ole olemassa kahta erillistä ei-tyhjää avointa osajoukkoa, X on yhtenäinen, ja niinpä hyperyhtenäiset avaruudet ovat myös yhtenäisiä.
• Koska yhdesti yhtenäisen avaruuden määritelmään sisältyy, että sen on oltava mukaan polkuyhtenäinen, se on myös yhtenäinen. Jos kuitenkin polkuyhtenäisyyden vaatimus poistetaan määritelmästä, avaruus saattaa toteuttaa määritelmän muut ehdot, vaikkei se olisikaan polkuyhtenäinen.
• Yhtenäisyyttä vahvempi käsite on avaruuden kutistuvuus. Jokainen kutistuva avaruus on polkuyhtenäinen ja näin ollen myös yhtenäinen.

Katso myös

• Polkuyhtenäisyys
• Lokaalisti yhtenäinen avaruus

Lähteet

• James R. Munkres: Topology, second edition. Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-181629-2
• Connected Set Wolfram Math World.
• ”Connected space”, Encyclopedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, 2002. ISBN 1402006098 Teoksen verkkoversio.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2