Separaatio (matematiikka)

Separaatio topologiassa on topologisen avaruuden $X$ joukon $E\subseteq X$ jako kahdeksi osajoukoksi $A$ ja $B$ , jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

$E=A\cup B$ ,
$A\neq \emptyset \neq B$ ,
${\overline {A}}\cap B=\emptyset =A\cap {\overline {B}}$ .

${\overline {A}}$ tarkoittaa joukon A sulkeumaa.

Sen sijaan leikkauksen ${\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ ei tarvitse olla tyhjä.

$E$ :n separaatio $\{A,\ B\}$ merkitään $E=A\mid B$ .

Mikäli $E$ :llä ei ole separaatiota, on se yhtenäinen.

Esimerkkejä

Olkoon $E\subset \mathbb {R}$ ja $E=\ ]0,2[\ \setminus \ \{1\}$ . Toisin sanoen $E=A\cup B$ , jossa $A=\ ]0,1[$ ja $B=\ ]1,2[$ . Nyt ${\overline {A}}=\ [0,1]$ ja ${\overline {B}}=\ [1,2]$ , joten ${\overline {A}}\cap B=\emptyset =A\cap {\overline {B}}$ . Täten $E$ separoituu. Huomaa, että ${\overline {A}}\cap {\overline {B}}=\{1\}\neq \emptyset$ .