Ekvivalenssiluokka

Yhtenevyys on esimerkki ekvi­valenssi­relaatiosta. Vasemmanpuoleiset kaksi kolmiota ovat yhteneviä, kun taas kolmas ja neljäs kolmio eivät ole yhteneviä minkään muun tässä kuvatun kolmion kanssa. Näin ollen kaksi ensimmäistä kolmiota kuuluvat samaan ekvi­valenssi­luokkaan, kun taas kolmas ja neljäs kolmio muodostavat kumpikin oman ekvi­valenssi­luokkansa.

Ekvivalenssiluokka on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvi­valentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvi­valenssi­luokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi. Ekvi­valenssi­luokka on siis joukko $[a]=\{x\in A|xRa\}$, missä $R$ on joukon $A$ ekvivalenssi­relaatio ja $a\in A$.

Ekvi­valenssi­relaation määritelmästä seuraa, että ekvi­valenssi­luokat muodostavat joukon osituksen. Ekvi­valenssi­luokkien joukkoa sanotaan joukon A tekijä­joukoksi relaation R suhteen, ja sitä merkitään A / R.

Kun joukolla A on jokin struktuuri ja ekvi­valenssi­relaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijä­joukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijä­renkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa.

Merkintä ja muodollinen määritelmä

Ekvi­valenssi­relaatio on binäärirelaatio ~, jolla on seuraavat kolme ominaisuutta:

• Jokainen joukon X alkio a on relaatiossa itsensä kanssa eli $a\sim a$ (refleksiivisyys)
• Jos $a\sim b$, niin $b\sim a$ (symmetrisyys)
• Jos $a\sim b$ ja $b\sim c$, niin $a\sim c$ (transitiivisuus)

Sille ekvi­valenssi­luokalle, johon alkio a kuuluu, käytetään merkintää $[a]$, ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa ~ alkion a kanssa eli ekvi­valentteja alkion a kanssa:

$[a]=\{x\in X\mid a\sim x\}$

Jos ekvi­valenssi­relaatiolle käytetään merkintää R, voidaan sille ekvi­valenssi­luokalle, johon a kuuluu, käyttää myös merkintää $a_{R}$. Sitä sanotaan myös a:n R-ekvi­valenssi­luokaksi.

Kaikkien X:n ekvi­valenssi­luokkien joukolle ekvi­valenssi­relaation R suhteen käytetään merkintää $X/R$, ja sitä sanotaan X:n tekijäjoukoksi R:n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä X modulo R. Surjektiota $x\mapsto [x]$ joukosta X joukolle X/R, joka kuvaa jokaisen alkion ekvi­valenssi­luokalleen, sanotaan kanoniseksi surjektioksi tai kanoniseksi projektioksi.

Kun jokaisesta ekvi­valenssi­luokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan sektioksi. Jos tälle sektiolle käytetään merkintää s, saadaan $[s(c)]=[c]$ jokaiselle ekvi­valenssi­luokalle c. Alkiota s(c) sanotaan c:n edustajaksi. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvi­valenssi­luokan edustajaksi.

Toisinaan jotakin sektiota voidaan pitää "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvi­valenssi­luokkien edustajia sanotaan kanonisiksi edustajiksi. Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvi­valenssi­relaatioon, jossa $a~b$, jos $a-b$ on jaollinen annetulla kokonais­luvulla n, jota sanotaan modulukseksi. Jokaiseen ekvi­valenssi­luokkaan kuuluu vain yksi ei-nega­tiivinen kokonais­luku, joka on pienempi kuin n, ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää a mod n voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun a jaetaan n:llä).

Esimerkkejä

• Olkoon X on kaikkien autojen joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "on saman värinen kuin". Tällöin yhden ekvi­valenssi­luokan muodostavat kaikki vihreät autot. Tekijäjoukko X/~ voidaan luonnollisesti samastaa kaikkien niiden värien joukon kanssa, joita autoilla on, ja sen kardinaliteetti on autojen eri värien lukumäärä.
• Olkoon X kaikkien suomenkielisten etunimien joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "alkaa samalla kirjaimella kuin". Tällöin ekvi­valenssi­luokat ovat [Aatami]={Aatami, Anna, Antti, Aino,...} [Belle]={Belle, Bettiina,...} ja niin edelleen aina aakkosten loppuun asti. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on yhtä monta kuin kirjaimia aakkosissa.
• Olkoon X on tason kaikkien suorakulmioiden joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin". Tällöin jokaista positiivista reaalilukua A vastaa ekvi­valenssi­luokka, johon kuuluvat kaikki suora­kulmiot, joiden pinta-ala joissakin annetuissa yksiköissä on A.
• Olkoon X kokonaislukujen joukko $\mathbb {Z}$ ja ~ ja siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: x ~y, jos ja vain jos x - y on parillinen luku. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on kaksi: toiseen kuuluvat kaikki parilliset ja toiseen kaikki parittomat kokonaisluvut. Tässä relaatiossa luvut 7, 9 ja 1 ovat kaikki tekijäjoukon $\mathbb {Z} /~$ saman alkion edustajia.
• Olkoon X jonkin (vähintään viikon pituisen) aikavälin kaikkien päivien joukko ja ~ siinä määritelty ekvi­valensirelaatio: x ~ y, jos ja vain jos päivästä x päivään y tai päivästä y päivään x kuluvien (tai kuluneiden) vuoro­kausien lukumäärä on jaollinen 7:llä. Tämä on yhtä­pitävää sen kanssa, että päivät x ja y ovat samana viikonpäivänä, ja joukkoon X\~ alkiot eli ekvivalenssi­luokat ovat seitsemän viikonpäivää.
• Olkoon X kokonais­lukujen sellaisten järjestettyjen parien (a, b) joukko, joissa b ei ole nolla, ja ~ siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: (a,b) ~ (c,d), jos ja vain jos ad = bc. Tällöin kutakin ekvi­valenssi­luokkaa (a,b) vastaa murtoluku a/b, ja tätä ekvi­valenssi­relaatiota voidaankin käyttää rationaalilukujen muodollisena määritelmänä samastamalla rationaaliluvut tällaisten ekvi­valenssi­luokkien kanssa. Samalla tavalla voidaan mistä tahansa kokonaisalueesta muodostaa sitä vastaavien "murtolukujen" kunta.
• Olkoon X eulidisen tason kaikkien suorien joukko ja määritellään relaatio ~ niin, että L ~ M, jos ja vain jos suorat L ja M ovat yhden­suuntaisia tai jos L ja M ovat sama suora. Tällöin relaatio on ekvi­valenssi­relaatio, ja kaikkien suorien joukko, jotka ovat yhden­suuntaisia L:n kanssa, on ekvi­valenssi­luokka. Jokaista tällaista ekvi­valenssi­luokkaa vastaa tietyn suuruinen kulma, jonka siihen kuuluvat suorat muodostavat esimerkiksi x-akselin suuntaisten suorien kanssa. Samalla jokainen tällainen ekvi­valenssi­luokka määrittelee yhden ideaalisen, äärettömän kaukaisen pisteen.

Ominaisuuksia

Jokainen alkio $x\in X$ kuuluu johonkin ekvi­valenssi­luokkaan [x]. Elleivät ekvi­valenssi­luokat [x] ja [y] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvi­valenssi­luokkien joukko muodostaa joukon X osituksen: jokainen X:n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvi­valenssi­luokkaan. Kääntäen jokaista X:n ositusta vastaa ekvi­valenssi­relaatio, jossa x ~ y, jos ja vain jos x ja y kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon.

ekvi­valenssi­relaation ominaisuuksista seuraa, että

$x\sim y$, jos ja vain jos [x] = [y].

• $x\sim y$
• $[x]=[y]$
• $[x]\cap [y]\neq \emptyset$.

Graafinen esitys

Jokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos ~ on joukon X ekvi­valenssi­relaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon X alkioita niin, että s ja t yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos s ~ t. Tässä esityksessä ekvi­valenssi­luokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella.

Invariantit

Olkoon ~ on X:n ekvi­valenssi­relaatio ja P jokin sellainen joukon X alkioiden ominaisuus, että jos x ~ y ja alkiolla x on ominaisuus P, myös alkiolla y on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta P sanotaan relaation ~ invariantiksi tai että ominaisuus P on hyvin määritelty relaation ~ suhteen.

Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Jos f(x₁) = f(x₂ aina, kun x₁ ~ x₂, kuvausta f sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka luokkainvariantiksi tai lyhyemmin invariantiksi relaation ~ suhteen. Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että "f on yhteensopiva relaation ~ kanssa.

Jokainen funktio f ; X → Y määrittelee samalla myös lähtöjoukossa X:n erään ekvi­valenssi­relaation, jossa x₁ ~ x₂, jos ja vain jos f(x₁ = f(x₂). ekvi­valenssi­luokan x muodostavat kaikki ne X:n alkiot, jotka kuvautuvat f(x):lle, toisin sanoen luokka [x] on joukon {f(x)} alkukuva. Tätä ekvi­valenssi­relaatiota sanotaan kuvauksen f kerneliksi.

Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon X ekvi­valentit alkiot (ekvi­valenssi­relaation ~_x suhteen) maalijoukon Y ekvi­valenteille alkioille (ekvi­valenssi­relaation ~_y suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan morfismiksi X:stä Y:hyn.

Tekijäavaruus

Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvi­valenssi­relaatiota vastaavat ekvi­valenssi­luokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa.

Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvi­valenssi­luokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijä­avaruus on tekijä­joukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijä­avaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta.

Kirjallisuutta

• Sundstrom: Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall, 2003.
• Smith, Eggen, St.Andre: A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole), 2006.
• Schumacher: Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley, 1996. ISBN 0-201-82653-4
• O'Leary: The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall, 2003.
• Lay: Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall, 2001.
• Gilbert, Vanstone: An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall, 2005.
• Fletcher, Patty: Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent.
• Iglewicz, Stoyle: An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan.
• D'Angelo, West: Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall, 2000.
• Cupillari: The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth.
• Bond: Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole.
• Barnier, Feldman: Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall, 2000.
• Ash: A Primer of Abstract Mathematics. MAA.
• Merikoski, Jorma & Virtanen, Ari & Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0