Karteesinen tulo

Karteesinen tulo A × B, kun A={a,b,c} ja B= {x,y}

Karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko-operaatio, jolla muodostetaan kahdesta tai useammasta joukosta uusi joukko. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon ja filosofin René Descartesin mukaan. Descartes loi käsitteen kehitellessään analyyttista geometriaa.

Karteesisen tulon yleinen muoto voidaan esittää seuraavasti:

$X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\,|\,x_{1}\in X_{1}$ ja $\ldots$ ja $x_{n}\in X_{n}\}$, missä $X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}$ ovat joukkoja.

Esimerkkejä karteesisesta tulosta

Kahden joukon karteesinen tulo

Kahden joukon X ja Y karteesinen tulo on sellaisten järjestettyjen parien (x, y) joukko, joissa x on joukon X alkio ja y joukon Y alkio.

Merkitään: $X\times Y=\{(x,y)\,|\,x\in X$ ja $y\in Y\}$.

Karteesisen tulon osajoukkoja kutsutaan binäärisiksi eli kaksipaikkaisiksi relaatioiksi.

Kolmen joukon karteesinen tulo

Euklidinen kolmiulotteinen avaruus avaruus voidaan ilmaista joukkona $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$, jonka alkiot eli "pisteet" ovat järjestettyjä kolmikkoja $(x,y,z)$, missä $x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {R}$.

Muita esimerkkejä

• Olkoot $A={1,2}$ ja $B={1,2,3}$. Tällöin $A\times B=\{(a,b)\,|\,a\in A$ ja $b\in B\}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$.
• Olkoot M = {risti, pata, ruutu, hertta} ja N = {ässä, kuningas, rouva, jätkä, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}.
  Tällöin M × N = {(risti, ässä) , (risti, kuningas), (risti, rouva),...,(hertta, 2)}. (korttipakka)
• Reaalitaso: R² = R × R = {(x, y)| x ∈ R, y ∈ R}

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.