Tekijäavaruus (topologia)

Havainnollistus siitä, miten tekijäavaruus, pallopinta $S^{2}$ , saadaan liimaamalla kaikki kiekon $D^{2}$ reunapisteet yhdeksi pisteeksi.

Topologiassa ja siihen liittyvillä matematiikan aloilla tekijäavaruus on, intuitiivisesti ilmaistuna tulos, joka saadaan samastamalla toisiinsa tai ”liimaamalla yhteen” jotkin annetut topologisen avaruuden pisteet. Toisiinsa samastettavat tai ”yhteen liimattavat” pisteet määritellään ekvivalenssirelaatiolla. Tavallisimmin tämä tehdään uuden topologisen avaruuden konstruoimiseksi jonkin ennestään tunnetun avulla. Tekijätopologia käsittää ne joukot, joiden alkukuva siinä kanonisessa projektiossa, jolla jokainen lähtöavaruuden alkio kuvataan sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle, on avoin joukko.

Määritelmä

Olkoon $X,\tau _{X}$ topologinen avaruus, ja olkoon ~ jokin ekvivalenssirelaatio avaruudessa $X$. Tekijäavaruus$Y=X/~$ on $X$:n alkioiden ekvivalenssiluokkien joukko:

$Y={\Big \{}[x]:x\in X{\Big \}}={\Big \{}\{v\in X:v\sim x\}:x\in X{\Big \}},$

varustettuna topologialla, jossa avoimia joukkoja ovat ne ekvivalenssiluokkien joukot, joiden yhdisteet ovat avoimia joukkoja X:ssä:

$\tau _{Y}={\Bigl \{}{\textstyle U\subseteq Y:\bigcup U={\bigl (}\bigcup _{[a]\in U}[a]{\bigr )}\in \tau _{X}}{\Bigr \}}.$

Yhtäpitävästi voidaan määritellä avoimiksi ne joukot, joiden alkukuva surjektiivisessa kuvauksessa $q:X\to ''X''/~$, joka liittää jokaiseen X:n pisteeseen sitä vastaavan ekvivalenssiluokan, on avoin:

$\tau _{Y}=\left\{U\subseteq Y:q^{-1}(U)\in \tau _{X}\right\}.$

Tekijäavaruuden avoimien joukkojen muodostama tekijätopologia on siis projektion $q:X\to ''X''/~$ koindusoima topologia avaruudessa X/~.

Samastuskuvaus

Tekijäavaruuteen liittyy läheisesti myös samastuskuvauksen eli tekijäkuvauksen käsite. Sanotaan, että kuvaus $f:X\to Y$ on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos Yn osajoukoista U ovat avoimia ne ja vain ne, joiden alkukuva on avoin. Yhtäpitävästi voidaan määritellä, että $f$ on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos se koindusoi maaliavaruuteen Y sen alkuperäisen topologian.

Jos $\sim$ on ekvivalenssirelaatio joukossa $X$, kanoninen kuvaus $q:X\to X/{\sim }$ on samastuskuvaus.

Pisteiden liimaaminen

• Liimaaminen. Topologiassa käytetään usein ilmaisua, että pisteet ”liimataan” yhteen. Olkoon X topologinen avaruus ja $x,y\in X$ kaksi sen pistettä. Muodostetaan ekvivalenssirelaatio ~, jossa a ~ b, jos ja vain jos joko
• $a=b$,
• $a=x$ ja $b=y$ tai
• $a=y$ ja $b=x$.

Tämän ekvivalenssirelaation määrittämän tekijäavaruuden muodostamista sanotaan pisteiden x ja y ”liimaamiseksi” yhteen. Yleensäkin tekijäavaruuden muodostamista voidaan havainnollistaa kuvittelemalla, että samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat pisteet ikään kuin ”liimataan” kiinni toisiinsa. Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, tämä voidaan monessa, joskaan ei kaikissa tapauksissa tehdä aivan konkreettisestikin.

Esimerkkejä

Lieriö

Möbiuksen nauhan konstruointi lähtien neliöstä. Vastakkaisilla reunoilla olevat nuolet on liimattava yhteen niin päin, että niiden kärjet osuvat yhteen.

Möbiuksen nauha

Torus

Kleinin pulloa lähinnä muistuttava toteutettavissa oleva pinta. Teoriassa Kleinin pullosta kuitenkin oletetaan, etteivät sen ”kaula” ja ”reuna” leikkaa toisiaan, mutta sellaista pintaa ei voi tehdä konkreettisesti.

• Tarkastellaan yksikköneliötä I² = [0,1] × [0,1] ja ekvivalenssirelaatiota ~, jossa kaikki neliön reunapisteet ovat ekvivalentteja, toisin sanoen ne muodostavat yhden ekvivalenssiluokan; muihin ekvivalenssiluokkiin kuuluu kuhunkin vain yksi piste, jokin neliön sisäpiste. Tällöin I²/~ on homeomorfinen yksikköpallon S² kanssa.
• Edellistä esimerkkiä voiaan yleistää seuraavasti: Olkoon $D^{n}$ suljettu n-ulotteinen kuula ja $S^{n-1}$ sen reuna, (n-1)-ulotteinen pallo. Silloin tekijäavaruus $D^{n}/S^{n-1}$ on homeomorfinen $S^{n}$:n kanssa. Tässä $D^{n}/S^{n-1}$ saadaan kutistamalla n-kuulan reuna pisteeksi, ja se on muodollisesti sellaisen ekvivalenssirelaation määrittämä tekijäavaruus, jossa kaikki reunan $S^{n-1}$ pisteet ovat ekvivalentteja.
• Vieläkin yleisemminkin voidaan menetellä seuraavasti. Oletetaan, että X on topologinen avaruus ja A jokin sen aliavaruus. Voidaan muodostaa ekvivalenssirelaatio, jossa kaikki A:n pisteet ovat keskenään ekvivalentteja, kun taas A:han kuulumattomat pisteet ovat ekvivalentteja vain itsensä kanssa. Tämän ekvivalenssirelaation määrittämälle tekijäavaruudelle käytetään merkintää X/A. Esimerkiksi pallonpinta $S^{2}$ on homeomorfinen sen tekijäavaruuden kanssa, joka saadaan, kun yksikkökiekossa $D^{2}$ määritellään tällä tavoin tekijäavaruus $D^{2}/S^{1}$, missä $S^{1}=\partial {D^{2}}$ on yksikköympyrän kehä.
• Jos neliössä I² = [0,1] × [0,1] samastetaan kahden vastakkaisen sivun kaikki pisteet (0,y) ja (1,y), kun 0 <= y <= 1, saadaan katkaisu lieriö. Tämä voidaan tehdä konkreettisestikin kiertämällä neliön muotoinen paperiarkki lieriöksi ja liimaamalla vastakkaiset sivut yhteen.
• Jos neliössä I² = [0,1] × [0,1] samastetaankin kahden vastakkaisen sivun kaikki pisteet (0,y) ja (1, 1-y), kun 0 <= y <= 1, saadaan Möbiuksen nauha. Tämäkin on mahdollista tehdä myös konkreettisesti, joskin neliön sijasta on tällöin käytettävä sen kanssa homeomorfista, tarpeeksi pitkää ja kapeaa suorakulmiota.
• Jos neliössä I² = [0,1] × [0,1] samastetaan pisteiden (0,y) ja (1,y) lisäksi myös pisteet (x,0) ja (x,1), kun 0 <= x <= 1 ja 0 <= y <= 1, saadaan toruspinta. Toruksen voidaan ajatella muodostuvan, kun tarpeeksi pitkä lieriö kierretään niin, että se muodostaa pituussuunnassa ympyrän, minkä jälkeen sen molemmat päät yhdistetään.
• Jos neliössä I² = [0,1] × [0,1] samastetaan pisteet (0,y) ja (1, 1-y) sekä (x,0) ja (x,1), saadaan Kleinin pullo. Jos taas samastetaan pisteet (0,y) ja (1, 1-y) sekä (x,0) ja (1-x,1), saadaan projektiivinen taso. Näitä kuitenkaan ei voida toteuttaa konkreettisesti, sillä kolmiulotteisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ ei ole sellaisia osajoukkoja, jotka olisivat näiden kanssa homeomorfiset.
• Tarrkatellaan reaalilukujen joukkoa $X=\mathbb {R}$ varustettuna tavanomaisella topologialla ja määritellään ekvivalenssirelaatio, jossa x ~ y jos ja vain jos x - y on kokonaisluku. Tällöin tekijäavaruus X/~ on homeomorfinen yksikköympyrän S¹ kanssa: tässä homeomorfismissa kutakin reaalilukua x vastaa yksikköympyrällä oleva piste (cos 2πx, sin 2πx).
• Edellinen esimerkki voidaan yleistää seuraavasti: Olkoon G topologinen ryhmä, jonka alkiot ovat X:n jatkuvia kuvauksia itselleen. Tällöin avaruudessa X voidaan muodostaa ekvivalenssirelaatio, jossa pisteet x ja y ovat ekvivalentteja, jos ja vain jos on olemassa sellainen tähän ryhmään kuuluva kuvaus f, että $f(x)=y$. Tämän ekvivalenssirelaation määrittämälle tekijäavaruudelle käytetään tällöin merkintää X/G. Edellä mainittu esimerkki voidaan käsittää tämän erikoistapaukseksi samastamalla kokonaislukujen ryhmä $\mathbb {Z}$ reaalilukujen joukossa määriteltyjen kuvausten $f(x)=x+n$ muodostaman ryhmän kanssa kanssa, missä n on kokonaisluku. Muodostettu tekijäavaruus on siis $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, joka on homeomorfinen S¹:n kanssa.

Huomattakoon kuitenkin, että merkintä $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ voi tarkoittaa kahta eri asiaa. Jos $\mathbb {Z}$ käsitetään edellä selitetyllä tavalla $\mathbb {R}$:n kuvausten muodostamaksi ryhmäksi, saadaan edellä kerrotulla tavalla ympyrä. Jos kuitenkin $\mathbb {Z}$ käsitetään $\mathbb {R}$:n aliavaruudeksi, tekijäavaruudeksi saadaan numeroituvasti ääretön joukko silmukoita, jotka kohtaavat toisensa yhdessä pisteessä; kukin silmukka vastaa yhtä avointa väliä $]n,n+1[$, missä n on kokonaisluku.

Ominaisuuksia

Jokainen kompakti metristyvä avaruus voidaan esittää Cantorin joukon tekijäavaruutena.

Jokainen kompakti yhtenäinen n-monisto, kun n>0, voidaan esittää minkä tahansa muun kompaktin yhtenäisen n-moniston tekijäavaruutena, ja kuvaus tekijäavaruudesta f:X/~->Y on jatkuva, jos ja vain jos f⁰q:X->Y on jatkuva.

Topologisen avaruuden X surjektio q toiselle topologiselle avaruudelle Y on samaistuskuvaus, jos sillä on seuraava ominaisuus: jos Z on mikä tahansa topologinen avaruus ja $f:Y\to Z$ mikä tahansa kuvaus, f on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus f ° q on jatkuva.

Tekijätopologiaa luonnehtiva ominaisuus

Tekijäavaruutta X/~ yhdessä samastuskuvauksen q : X -> X/~ kanssa luonnehtii seuraava universaaliominaisuus: Jos g : X -> Z on sellainen jatkuva kuvaus, että kaikilla samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvilla Xn alkioilla on sama kuvapiste Z:ssä, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen jatkuva kuvaus f : X/~ -> Z, että g = f ° q. Sanotaan, että g laskeutuu tekijäavaruuteen.

Tekijäavaruuden X/~ jatkuvia kuvauksia ovat siis ne ja vain ne kuvaukset, jotka saadaan X:ssä määritellyistä jatkuvista kuvauksista ja jotka ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa (siinä mielessä, että ekvivalenteilla alkioilla on sama kuva). Tutkittaessa tekijäavaruuksia tätä kriteeriä käytetään paljon.

Usein on selvitettävä, onko jokin surjektio q : X -> Y samaistuskuvaus. Jos q on avoin tai suljettu kuvaus, se on samaistuskuvaus. Nämä ovat kuitenkin vain riittäviä, mutta eivät välttämättömiä ehtoja. On helppo muodostaa esimerkkejä samaistuskuvauksista, jotka eivät ole avoimia eivätkä suljettuja. Topologisten ryhmien tapauksessa samaistuskuvaukset ovat avoimia.

Suhde muihin topologisiin käsitteisiin

Erotteluaksioomat

Erotteluaksioomien suhteen tekijäavaruudet käyttäytyvät usein yllättävällä tavalla. Vaikka topologinen avaruus X toteuttaa yhden tai useamman erotteluaksiooman, tekijäavaruus X/~ ei niitä välttämättä noudata. Toisaalta tekijäavaruudella X/~ voi olla erotteluominaisuuksia, joita alkuperäisellä avaruudella X ei ole. Seuraavat tulokset ovat kuitenkin voimassa:

• X/~ on T1-avaruus, jos ja vain jos jokainen ~:n ekvivalenssiluokka on suljettu X:ssä.
• Jos tekijäavaruutta vastaava samaistuskuvaus on avoin, tekijäavaruus X/~ on Hausdorff-avaruus, jos ja vain jos relaatiota ~ vastaava tuloavaruuden X×X osajoukko R = {$(x,y)\in R|x~y$} on suljettu.

Yhtenäisyys

Jos avaruus on yhtenäinen tai polkuyhtenäinen, samoin ovat sen kaikki tekijäavaruudet.

Yhdesti yhtenäisen tai kutistuvan avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole yhdesti yhtenäinen eikä kutistuva.

Kompaktius

Kompaktin avaruuden kaikki tekijäavaruudet ovat kompakteja. Sen sijaan lokaalisti kompaktin avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole lokaalisti kompakti.

Ulottuvuus

Tekijäavaruuden topologinen ulottuvuus voi olla suurempi tai pienempi kuin alkuperäisen avaruuden. Avaruuden täyttävät käyrät tarjoavat tästä esimerkkejä.

Lähteet

• Stephen Willard: General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1970. ISBN 0-486-43479-6
• Quotient Space PlanetMath.