Ympäristö (topologia)

Pisteen p ympäristö joukossa V

Topologiassa pisteen ympäristöllä tarkoitetaan yleensä avointa joukkoa, joka sisältää kyseisen pisteen. Formaalimmin, joukko $U\subset X$ on pisteen $a\in X$ ympäristö, jos $U$ on avoin joukossa $X$ ja $a\in U$. Metrisissä avaruuksissa jokainen $a$:n ympäristö $U$ sisältää kuulaympäristön $B(a,r)\subset U$.

Joukko $U$ on joukon $A$ ympäristö, kun pätee $A\subset U\subset X$ ja $U$ on avoin joukko.

Toisinaan pisteen ympäristölle käytetään seuraavaa, edellisestä hieman poikkeavaa määritelmää. Olkoon $X$ topologinen avaruus ja $x\in X$. Tällöin $V$ on $x$:n ympäristö, jos on olemassa $X$:n avoin joukko $U$ siten, että $x\in U\subset V$.

Pisteen x ympäristökanta $\mathbb {B}$ on sellainen kokoelma pisteen x ympäristöjä, että jokainen pisteen x ympäristö sisältää osajoukkonaan jonkin tähän kokoelmaan kuuluvan ympäristön.

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8
• Väisälä, Jussi: Topologia II, 2. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2005. ISBN 951-745-209-8

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2