Tasajakauma

Tasajakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	${\mathcal {U}}(a,b)$ tai $\mathrm {unif} (a,b)$
Parametrit	$-\infty <a<b<\infty \,$
Määrittelyjoukko	$x\in [a,b]$
Tiheysfunktio	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{muulloin}}\end{cases}}$
Kertymäfunktio	${\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}$
Odotusarvo	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Mediaani	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Moodi	mikä tahansa välin $[a,b]$ piste
Varianssi	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
Vinous	0
Huipukkuus	$-{\tfrac {6}{5}}$
Entropia	$\ln(b-a)\,$
Momentit generoiva funktio	${\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}$
Karakteristinen funktio	${\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}$

Tasajakauma eli tasainen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti. Tasajakaumaa merkitään usein

$X\sim \operatorname {Tas} (a,b)$ $\sim \operatorname {Unif} (a,b)$ $\sim \operatorname {U} (a,b),$

missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit $a$ ja $b$ rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman $P(c\leq X\leq d)$ (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja satunnaisesti väliltä [a,b].

Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi $\scriptstyle {rnd}$) simuloidaan $\scriptstyle \operatorname {Tas} (0,1)-$jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan $\scriptstyle (b-a)\cdot {rnd}+a$.

Todennäköisyysjakauma

Jakauman parametrit $a,b\in \mathbb {R}$ toteuttavat ehdon $a<b$, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli $[a,b]$.

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{kun }}x\notin [a,b]\end{cases}},$

ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on

$F_{X}(x)=P(X\leq x)={\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}$

Tunnusluvut ja momentit

Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

$M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {1}{b-a}}\mathrm {d} x$

$={\frac {1}{t(b-a)}}\int _{a}^{b}te^{tx}\mathrm {d} x={\frac {e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}}\,.$

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla $M(0)=1.$ Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.

Ensimmäiset origomomentit ovat

$\mu =E(X)=\lim _{t\to 0}M'(t)={\tfrac {1}{2}}(a+b)$

$\mu _{2}=E(X^{2})={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})$

$\mu _{3}=E(X^{3})={\tfrac {1}{4}}(a+b)(a^{2}+b^{2})$

$\mu _{4}=E(X^{4})={\tfrac {1}{5}}(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})$

ja niiden yleinen termi on

$\mu _{n}=E(X^{n})={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.$

Keskusmomenttien yleinen muoto on

$\mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})={\frac {(a-b)^{n}+(b-a)^{n}}{2^{n+1}(n+1)}}.$

Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

$\mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}(a+b).$

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

$\mu '_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.$

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

$g_{1}={\frac {\mu '_{3}}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}={\frac {0}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}=0.$

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

$\gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3=-{\frac {5}{6}}.$

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Muut jakaumat

Beta-jakauma $\beta (1,1)$ vastaa tasaista jakaumaa.

Tasajakauman universaalisuuslauseen mukaan jokainen jatkuva todennäköisyysjakauma voidaan muuttujan vaihdolla muuntaa noudattamaan yksikkötasajakaumaa.

Aiheesta muualla

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma