Momentti (tilastotiede)

Momentti on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty tunnusluku, joka luonnehtii jakaumaa erityisellä tavalla. Yleisimmät momentit sisältyvät origomomentteihin, keskusmomentteihin ja tekijämomentteihin. Kuhunkin ryhmään sisältyy numeroituvasti ääretön määrä erilaisia momentteja.

Momentti eli origomomentti

Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan $X$ tapauksessa

$E(X^{r})=\sum _{x\in \Omega }x^{r}p(x).$

Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti.

Jatkuvan satunnaismuuttujan $Y$ tapauksessa momentti lasketaan

$E(Y^{r})=\int _{-\infty }^{\infty }y^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,$

mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös $E(X^{r})=\langle x^{r}\rangle .$

Kullekin eksponentin $r$ positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti $E(X^{r})$. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään $(r\in \{1,2,...\},\;\mu _{i}$:t ovat vaihtoehtoisia merkintöjä)

$r=1:\;\mu =E(X^{1})=E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan odotusarvoksi.

$r=2:\;\mu _{2}=E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan toiseksi momentiksi.

$r=3:\;\mu _{3}=E(X^{3})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan kolmanneksi momentiksi.

$r=n:\;\mu _{n}=E(X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan n:nneksi momentiksi.

Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota. Se määritellään diskreetissä tapauksessa

$E(e^{tX})=\sum _{x\in \Omega }e^{tx}p(x)$

ja jatkuvassa tapauksessa

$M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

$=1+t\mu _{1}+{\tfrac {1}{2!}}t^{2}\mu _{2}+{\tfrac {1}{3!}}t^{3}\mu _{3}+...\,,$

missä $\mu _{1},$ $\mu _{2},$ $\mu _{3},$...,$\mu _{n},$,.. ovat origomomentteja. Siitä voidaan laskea n:n momentin arvo derivoimalla momenttifunktio n kertaa ja sijoittamalla siihen $t=0.$

Keskusmomentti

Keskusmomentilla, keskimomentilla eli keskeisellä momentilla tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon $\mu =E(X)$ erotuksen momenttia. Se määritellään diskreetin satunnaismuuttujan $X$ tapauksessa

$E((X-\mu )^{r})=\sum _{x\in \Omega }(x-\mu )^{r}p(x).$

Jatkuvan satunnaismuuttujan $Y$ tapauksessa keskusmomentti lasketaan

$E((Y-\mu )^{r})=\int _{-\infty }^{\infty }(y-\mu )^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,$

mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös $E((X-\mu )^{r})=\langle (x-\mu )^{r}\rangle .$

Kullekin eksponentin $r$ positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti $E((X-\mu )^{r})$. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään $(r\in [1,\infty ))$

$r=1:\;E(X-\mu )=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )f(x)\,\mathrm {d} x=0.$

$r=2:\;E((X-\mu )^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan varianssiksi.

$r=3:\;E((X-\mu )^{3})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan kolmanneksi keskusmomentiksi eli vinoudeksi.

$r=4:\;E((X-\mu )^{4})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{4}f(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan neljänneksi keskusmomentiksi eli huipukkuudeksi.

$r=n:\;E((X-\mu )^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,$ jota kutsutaan n:nneksi keskusmomentiksi.

Tekijämomentti

Tekijämomentit, joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista, määritellään seuraavasti

$E(X^{(r)})=E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1)),$

ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa

$E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1))=\sum _{x\in \Omega }(x(x-1)(x-2)...(x-r+1))p(x).$

ja jatkuvassa tapauksessa

$E(Y(Y-1)(Y-2)...(Y-r+1))=\int _{-\infty }^{\infty }(y(y-1)(y-2)...(y-r+1))f(y)\,\mathrm {d} y.$

Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat

$E(X^{(1)})=E(X)=\mu ,$ (odotusarvo)

$E(X^{(2)})=E(X(X-1))=E(X^{2}-X)=E(X^{2})-E(X)=Var(X)=\sigma ^{2},$ (varianssi)

$E(X^{(3)})=E(X(X-1)(X-2))=E(X^{3}-3X^{2}+2X).$