Nelivektori

Nelivektori on suhteellisuusteoriassa neljästä komponentista koostuva vektori, joka on määritelty neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Se on matemaattinen työkalu, jolla kuvastetaan aika-avaruuden relativistisia ilmiöitä., Minkowskin avaruudessa. Se eroaa tavallisesta euklidisesta vektorista siinä, että neli­vektorit muuntuvat koordinaatistosta toiseen siirryttäessä Lorentzin muunnoksen mukaisesti.

Aika-avaruudessa sijaitsevaa tapahtumaa voidaan kuvata nelivektorilla, jossa on kolme paikka­koordinaattia ja yksi ajan koordinaatti. Nelivektorin komponenteilla on mahdollista kuvata myös energiaa ja liikemäärää.

Tässä artikkelissa neli­vektoreita käsitellään erityisen suhteellisuus­teorian mukaisesti. Vaikka neli­vektoreita käytetään myös yleisessä suhteellisuus­teoriassa, jotkin tässä artikkelissa mainitut tulokset eivät siinä enää sellaisenaan päde.

Tässä artikkelissa käytetään seuraavia merkintöjä: lihavoidut pienet kirjaimet merkitsevät kolmiulotteisia vektoreita, hatulla varustetut kirjaimet kolmiulotteisen avaruuden yksikkö­vektoreita, lihavoidut isot kirjaimet merkitsevät neli­vektoreita, poikkeuksena neli­gradientti. Lisäksi käytetään tensorien indeksi­notaatiota.

Nelivektorien algebra

Reaaliarvoisen kannan nelivektorit

Nelivektori A on vektori, jolla on yksi "ajan­luontoinen" ja kolme "paikan­luontoista" komponenttia. Sellaisille on käytössä useita samaa tarkoittavia merkintätapoja:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3})\\&=A^{0}\mathbf {e} _{0}+A^{1}\mathbf {e} _{1}+A^{2}\mathbf {e} _{2}+A^{3}\mathbf {e} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {e} _{0}+A^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }\\\end{aligned}}$

Yläindeksit tarkoittavat kontravariantteja komponentteja. Tavanomainen käytäntö on, että latinalaisilla kirjaimilla indeksoidaan ainoastaan paikanluontoiset komponentit, i = 1, 2, 3, kun taas kreikkalaisia kirjaimia käytetään indeksoitaessa komponentit Einsteinin summaussäännön mukaisesti, kun myös ajan­luontoinen komponentti on mukana: a = 0, 1, 2, 3, missä 0 vastaa ajan­luontoista komponenttia. Jako ajan- ja paikan­luontoisiin komponentteihin on hyödyllinen määriteltäessä nelivektorien ja muiden tensori­suureiden välisiä riippuvuuksia kuten laskettaessa Lorentz-invariantteja sisätuloina, mistä jäljempänä esitetään esimerkkejä.

Erityisessä suhteellisuus­teoriassa paikan­luontoinen kantana e₁, e₂, e₃ ja komponentteina A¹, A², A³ käytetään usein karteesista kantaa ja komponentteja:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {e} _{t}+A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}\\\end{aligned}}$

vaikka luonnollisesti muitakin kantoja ja koordinaatteja voidaan käyttää, esimerkiksi pallokoordinaatistoa

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi })\\&=A_{t}\mathbf {e} _{t}+A_{r}\mathbf {e} _{r}+A_{\theta }\mathbf {e} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {e} _{\phi }\\\end{aligned}}$,

sylinterikoordinaatistoa,

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {e} _{t}+A_{r}\mathbf {e} _{r}+A_{\theta }\mathbf {e} _{\theta }+A_{z}\mathbf {e} _{z}\\\end{aligned}}$

tai mitä tahansa ortogonaalisia tai jopa käyrä­viivaista koordinaatistoa]]. On huomattava, että tässä ala­indekseinä käytetyt tunnukset eivät ole indeksejä, jotka saavat lukuarvoja. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa on käytettävä paikallista käyrä­viivaista koordinaatistoa. Geometrisesti neli­vektoreitakin voidaan kuvata nuolilla, mutta aika-avaruudessa, ei pelkästään avaruudessa. Suhteellisuus­teoriassa nuolet piiretään aika-avaruus-diagrammiin eli Minkowskin diagrammiin. Jäljempänä neli­vektoreita sanotaan usein lyhyesti vektoreiksi.

On myös tavallista esittää kannan muodostavat yksikkövektorit muodossa

$\mathbf {e} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$

niin, että

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}$

Indeksit on tapana kirjoittaa alaindekseinä kovarianttien ja yländekseinä kontravarianttien nelivektorien tapauksessa. Kovariantti neli­vektori voidaan näin ilmaista muodossa $\scriptstyle x_{\mu }=(x_{1},~x_{2},~x_{3},~x_{4})=(ct,-x,-y,-z)$. Kovariantti neli­vektori $\scriptstyle x_{\mu }$ saadaan, kun kerrotaan kontra­variantti neli­vektori $\scriptstyle x^{\nu }$ metrisellä tensorilla $\scriptstyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }$:

$g_{\mu \nu }x^{\nu }={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\-x\\-y\\-z\end{bmatrix}}=x_{\mu }$.

Eri merkintätavoilla kovariantit komponentit ovat:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {e} ^{0}+A_{1}\mathbf {e} ^{1}+A_{2}\mathbf {e} ^{2}+A_{3}\mathbf {e} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {e} ^{0}+A_{i}\mathbf {e} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {e} ^{\alpha }\\\end{aligned}}$

missä alaindeksit osoittavat kyseessä olevan kovariantti vektori. Usein metriikka on diagonaalinen, kuten orto­gonaalisten mutta ei yleisten käyrä­viivaisten koordinaattien tapauksessa.

Kanta voidaan esittää rivivektoreina:

$\mathbf {e} ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}$

niin että:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}$

Perusteena näille merkintätavoille on se, että sisätulo on skalaari.

Lorentzin muunnos

Jos oletetaan kaksi inertiaalista tai pyörivää vertailujärjestelmää, neli­vektori voidaan määritellä suureeksi, joka muuntuu Lorentz-muunnosmatriisin $\Lambda$ mukaisesti:

$\mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} \,\!$

Indeksimerkintöjä käytettäessä kontravariantit komponentit muuntuvat seuraavasti:

${A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }$

ja kovariantit komponentit seuraavasti:

$\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }$

missä matriisilla $\Lambda$ on komponentit Λ^µ_? rivillä µ ja sarakkeella ν,, ja sen käänteismatriisin Λ^-1 komponentit ovat Λ_µ^ν, rivillä µ ja sarakkeella ν,.

Esimerkiksi tapahtuman neli­paikka S muunnetaan Lorentz-muunnoksella toiseen inertiaali­koordinaatistoon seuraavasti: ${\mathfrak {s}}'={\mathfrak {L}}{\mathfrak {s}}$, tässä ${\mathfrak {L}}$ on 4x4-matriisi

${\mathfrak {L}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&0&i\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\gamma \beta &0&0&\gamma \end{bmatrix}}$.

Aika-avaruus­intervalli saa neli­vektoreilla muodon ${\mathfrak {s}}^{T}{\mathfrak {s}}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$. Aika-komponentin imaginaarisella kertoimella on siis suuri merkitys. Huomataan että aika-avaruusintervalli säilyy Lorentz-muunnoksessa, siis ${\mathfrak {s}}^{T}{\mathfrak {s}}={\mathfrak {s'}}^{T}{\mathfrak {s'}}$.

Kaikki neli­vektorit muuntuvat samalla tavalla, ja tämä voidaan yleistää neli­ulotteisille relati­visti­sille tensoreille.

Puhtaat kierrot mielivaltaisen akselin ympäri

Jos oletetaan kaksi kiinteän kulman θ toisistaan erottamaa, yksikkö­vektorien määrittelemää vertailu­järjestelmää

${\hat {\mathbf {n} }}=({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3})\,,$

matriisin Λ komponentit ovat:

$\Lambda _{00}=1$

$\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}=0$

$\Lambda _{ij}=(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}$

missä d_ij on Kroneckerin delta ja e_ijk on kolmiulotteinen Levin-Civitan symboli. Neli­vektorin paikan­luontoiset komponentit kiertyvät, kun taas ajan­luontoinen komponentti pysyy muuttumattomana.

Jos rotaatio tapahtuu vain z-akselin ympäri, Lorentzin matriisin paikan­luontoinen osa yksin­kertaistuu rotaatiomatriisiksi z-akselin ympäri:

${\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .$

Tasaiset liikkeet mielivaltaiseen suuntaan

Tavanomainen koordinaatiston muunnos:Lorentzin siirtymä x-akselin suunnassa.

Kun kaksi vertailu­järjestelmää liikkuu toistensa suhteen tasaisella nopeudella v (tässä tarkoitetaan tavan­omaista nopeutta kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ei jäljempänä määriteltävää neli­nopeutta), on kätevää käyttää suhteellisen nopeuden yksikkönä valon­nopeutta c seuraavasti:

${\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.$

Täten kun rotaatiota ei ole eli molempien vertailu­järjestelmien koordinaatti­akselit ovat saman­suuntaiset, matriisin Λ komponentit ovat:

${\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}\,\!$

missä $\gamma$ on Lorentzin tekijä

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,$

ja δ_ij on Kroneckerin delta. Toisin kuin pelkän rotaation tapauksessa, tasaisessa suora­viivaisessa liikkeessä matriisin paikan- ja ajan­luontoiset komponentit kytkeytyvät toisiinsa.

Kun liike tapahtuu ainoastaan x-akselin suuntaan, matriisi yksin­kertaistuu muotoon

${\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}$

missä käytetään rapiditeettia $\phi$ , joka voidaan ilmaista hyper­bolisten funktioiden avulla:

$\gamma =\cosh \varphi$

Tämä Lorentzin matriisi osoittaa, että etenemis­liike voidaan käsittää hyper­boliseksi rotaatioksi neliulotteisessa aika-avaruudessa, jolloin se on analoginen ympyräliikkeelle kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

Ominaisuudet

Lineaarisuus

Nelivektoreilla on samat lineaarisuus­ominaisuudet kuin euklidisilla vektoreilla kolmessa ulottuvuudessa. Niitä voidaan laskea yhteen tavalliseen tapaan:

$\mathbf {A} +\mathbf {B} =(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})+(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3})=(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3})$

ja ne voidaan kertoa skalaarilla λ komponenteittain:

$\lambda \mathbf {A} =\lambda (A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})=(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3})$

Samoin vähennyslasku on nelivektoreillakin yhteenlaskun käänteistoimitus, joka määritellään komponenteittain:

$\mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} =(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})+(-1)(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3})=(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3})$

Sisätulo

Katso myös: Intervalli (fysiikka)

Kahden nelivektorin A ja B sisätulo eli skalaaritulo määritellään Einsteinin notaatiota käyttäen seuraavasti:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }$

missä $\eta$ on Minkowskin metriikka. Tässä yhteydessä sisätuloa sanotaan myös Minkowskin sisä­tuloksi. Asian havain­nollis­tamiseksi on kätevää kirjoittaa määritelmä uudestaan matriisimuodossa seuraavasti:

$\mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}$

missä tapauksessa η_μν tarkoittaa rivillä µ ja sarakkeessa ν olevaa lukua Minkowskin metriikkaa esittävässä neliömatriisissa. Minkowskin metriikka ei ole euklidinen metriikka, koska siinä kahden aika-avaruuden eri pisteenkin (tapahtuman) välinen intervalli voi olla nolla. Sisätulo voidaan kirjoittaa monella muullakin tavalla, koska metrinen tensori muuttaa A:n ja B:n kovariantit komponentit kontra­varianteiksi tai päinvastoin. Näille komponenteille pätee:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }$

tai matriisimuodossa:

$\mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}$

kun taas A:n ja B:n kovarianteille komponenteille pätee:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }$

tai matriisi­muodossa samaan tapaan kuin edellä.

Nelivektorin A sisätuloa itsensä kanssa sanotaan vektorin normiksi, ja se merkitään ja määritellään seuraavasti:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }$

Intuitiivisesti sen voidaan käsittää merkitsevän neli­vektorin pituuden tai suuruuden neliötä. Neli­vektorin pituus, jota sanotaan myös sen magnitudiksi, ei kuitenkaan välttämättä ole positiivinen, toisin kuin kolmi­ulotteisten vektorien euklidisessa avaruudessa.

Seuraavassa esitetään kaksi tavallisinta valintaa metriseksi tensoriksi standardi­kannassa, joka vastaa oleellisesti karteesisia koordinaatteja. Jos käytetään orto­gonaalisia koordinaatteja, tarvitaan skaalatekijöitä metriikan paikan­luontoisen osan diagonaalisessa suunnassa, kun taas yleisissä käyrä­viivaisissa koordinaateissa metriikan koko paikan­luontoisen osan komponentit riippuisivat käytetystä käyräviivaisesta kannasta.

Standardikanta, etumerkit (+---)

Etumerkkikäytännössä (+---) summaus indeksien yli johtaa tulokseen

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}$

tai matriisimuodossa:

$\mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}$

Erityisessä suhteellisuusteoriassa on yleinen käytäntö ottaa lauseke

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C$

yhteen vertailu­järjestelmään, missä C on tämän vertailu­järjestelmän sisätulon arvo ja

$\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'$

toisessa vertailu­järjestelmässä, missä C′ on sisä­tulon arvo tässä järjestelmässä. Koska sisä­tulo on invariantti, näiden on oltava yhtä suuret:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '$

toisin sanoen:

$C=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}$

Koska fysikaaliset suureet suhteellisuus­teoriassa ovat yleensä neli­vektoreita, tämä yhtälö on muistuttaa säilymis­lakeja, mutta se ei esitä minkään suureen säilymistä. Minkowskin sisätulon ensi­sijainen merkitys on siinä, että mille tahansa kahdelle nelivektorille sen arvo on invariantti eli sama kaikissa vertailu­järjestelmissä ja kaikille havaitsijoille; koordinaatiston vaihdos ei johda sisätulon arvon muutokseen. Nelivektorin komponentit sitä vastoin muuttuvat siirryttäessä koordinaatistosta toiseen; A ja A′ liittyvät toisiinsa Lorentzin muunnoksen osoittamalla tavalla, ja samoin B and B′. Tämäntapaista lauseketta kuitenkin käytetään suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa säilymis­lakien tavoin, koska komponenttien suuruudet voidaan määrittää suorittamatta ekspli­siitti­sesti Lorentzin muunnosta. Erityisen esimerkin tästä muodostavat energia ja liikemäärä, jotka yhdistyvät samaksi neli­vektoriksi, neliliikemääräksi.

Näillä merkkisäännöillä vektorin A normi on:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}$

Niinpä (+---) -merkki­sääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| < 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| > 0 ja nolla­vektori, jos ||A|| = 0.

Standardikanta, etumerkit (-+++)

Jotkut kirjoittajat määrittelevät $\eta$:n päin­vastaisin etumerkein, missä tapauksessa saadaan etumerkki­käytäntö (-+++). Tässä tapauksessa summaus johtaa tulokseen:

$\mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}$

matriisimuodossa:

$\mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)$

On huomattava, että tässä tapauksessa yhdessä vertailujärjestelmässä pätee:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C$

toisessa sen sijaan:

$\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'$

joten:

$-C=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}$

ja näin ollen C saadaan edellisen kanssa yhtä­pitävästi A.n ja B:n avulla. Kumpikin käytäntö toimii yhtä hyvin. Nämä kaksi eri tavalla määriteltyä Minkowskin metriikkaa eroavat toisistaan vain neli­vektorin kovarianttien ja kontra­varianttien komponenttien etu­merkkien osalta, toisin sanoen etu­merkit riippuvat siitä, kumpaa käytäntöä noudatetaan.

Tämän etumerkki­käytännön mukaisesti normin neliö on:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=-(A^{0})^{2}+(A^{1})^{2}+(A^{2})^{2}+(A^{3})^{2}$

Niinpä (-+++) -merkkisääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| > 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| > 0 ja nollavektori, jos ||A|| = 0.

Duaalivektorit

Sisätulo esitetään usein ensimmäisen vektorin duaalivektorin ja jälkimmäisen vektorin tulona:

$\mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.$

Tässä A_ν:t ovat A:n duaalivektorin A* komponentit duaali­kannassa, ja niitä sanotaan A:n kovarianteiksi koordinaateiksi, kun taas alkuperäisiä komponentteja A^ν sanotaan sen kontra­varianteiksi koordinaateiksi.

Nelivektorien derivaatat ja differentiaalit

Erityisessä (mutta ei yleisessä) suhteellisuus­teoriassa neli­vektorin derivaatta invariantin skalaarin λ suhteen on sekin neli­vektori. Usein on myös kätevää käyttää neli­vektorin differentiaalia dA ja jakaa se skalaarin λ differentiaalilla dλ:

${\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}$

missä kontravariantit komponentit ovat:

$d\mathbf {A} =(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3})$

ja kovariantit koordinaatit:

$d\mathbf {A} =(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3})$

Relativistisessa mekaniikassa neli­vektorin differentiaali jaetaan usein itseis­ajan differtiaalilla.

Perustavia nelivektoreita

Nelipaikka

Minkowskin avaruuden pisteillä, joita sanotaan myös "tapahtumiksi", on paikallinen ja ajallinen sijainti, ja sen ilmaisee nelipaikkavektori eli nelipaikka, joka annetussa vertailujärjestelmässä voidaan ilmaista neljän koordinaatin avulla:

$\mathbf {X} =\left(ct,\mathbf {r} \right)$

Tässä r on pisteen paikkavektori kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Jos r on aika­koordinaatin t funktio samassa vertailujärjestelmässä, toisin sanoen r = r(t), tämä vastaa tapahtumien sarjaa ajan t muuttuessa. Määritelmä X⁰ = ct merkitsee sitä, että kaikki koordinaatit voidaan ilmoittaa samoilla, mittayksiköillä, pituuden yksiköillä. Nämä koordinaatit ovat tapahtuman paikka­neli­vektorin komponentit. Siirtymä­neli­vektori määritellään kahta tapahtumaa yhdistävänä "nuolena":

$\Delta \mathbf {X} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)$

Nelipaikkavektorin sisätulo itsensä kanssa on

$\|\mathbf {X} \|^{2}=X^{\mu }X_{\mu }=(c\tau )^{2}=s^{2}\,,$

mikä määrittelee Minkowskin aika-avaruudessa intervallin s ja itseis­ajan t, jotka ovat invariantteja. Neli­paikka­vektorin differentiaalin sisä­tulo itsensä kanssa on:

$\|d\mathbf {X} \|^{2}=dX^{\mu }dX_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,$

mikä määrittelee differentiaalisen viivaelementin ds ja differentiaalisen itseis­ajan dt, mutta tämä normi on myös:

$\|d\mathbf {X} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,$

niin että:

$(cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.$

Fysikaalisia ilmiötä tarkasteltaessa päädytään luonnollisesti differentiaaliyhtälöihin. Funktioiden paikka- ja aika­derivaattoja tarkasteltaessa ei kuitenkaan ole selvää, minkä vertailu­järjestelmän suhteen ne on otettu. On sovittu, että aika­derivaatat otetaan itseisajan t suhteen. Koska itseisaika on invariantti, tämä takaa, että jokaisen neli­vektorin derivaatta itseisajan suhteen on myös neli­vektori. On tärkeä löytää yhteys tämän itseis­aika­derivaatan ja toisen aika­derivaatan, yleensä jonkin inertiaali­järjestelmän koordinaatti­ajan suhteen otetun derivaatan välillä. Tämä yhteys saadaan ottamalla edellä selitetty differentiaalinen invariantti aika-avaruus-intervalli ja jakamalla sitten suureella cdt², jolloin saadaan:

$\left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,$

missä u = dr/dt on kohteen nopeus mitattuna samassa järjestelmässä kuin koordinaatit x, y, z ja koordinaattiaika t, ja

$\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}$

on Lorentzin tekijä. Tästä saadaan käyttökelpoinen yhteys koordinaatti­ajan ja itseis­ajan suhteen otettujen differentiaalien välille:

$dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.$

Tämä yhteys voidaan todeta myös siitä, miten aika muuntuu Lorentzin muunnoksessa. Suhteellisuus­teoriassa tärkeitä nelivektoreita voidaan saada jakamalla tällä differentiaalilla.

Neligradientti

Koska osittais­derivaatat ovat lineaarisia operaattoreita, voidaan neligradientti muodostaa osittaiserivaatasta $\partial /\partial t$, ja avaruudellisesta gradientista $\nabla$. Käytettäessä standardikantaa indeksi- ja lyhennysmerkintöineen neligradientin kontravariantit komponentit ovat:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {e} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {e} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {e} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {e} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {e} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {e} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {e} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\mathbf {e} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}$

On otettava huomioon, että kantavektorit on asetettu komponenttien, jotta tämä ei sekaantuisi kantavektorien derivaattoihin tai yksinkertaisesti sen osoittamiseksi, että osittaisderivaatta on tämän nelivektorin komponentti. Kovariantit komponentit ovat:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {e} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {e} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {e} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {e} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {e} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {e} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {e} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\mathbf {e} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}$

Koska tämä on operaattori, sillä ei ole "pituutta", mutta jos lasketaan muodollisesti tämän operaattorin sisätulo itsensä kanssa, saadaan toinen operaattori:

$\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$

jota sanotaan D'Alembertin operaattoriksi.

Nelivektoreita fysiikan eri aloilla

Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, monet sellaiset suureet, joita ei-relativistisessa fysiikassa pidetään skalaareina, osoittautuvat suhteellisuusteoriassa jonkin nelivektorisuureen ajanluontoiseksi komponentiksi. Saman nelivektorin paikanluontoiset komponentit vastaavat ei-relativistisessa fysiikassa jotakin vektorisuuretta.

Kinematiikka

Nelinopeus

Hiukkasen nelinopeus määritellään seuraavasti:

$\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),$

Geometrisesti U on hiukkasen maailmanviivan tangenttivektori. Nelipaikan differentiaalin avulla voidaan laskea nelinopeuden magnitudi:

$\|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,$

Todetaan, että kaikkien hiukkasten ja kappaleiden nelinopeuden magnitudi on aina valonnopeus c:

$\|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}\,$

Normi voidaan esittää myös muodossa:

$\|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,$

josta saadaan edelleen:

$c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,$

mikä yksinkertaistuu Lorentzin tekijän määritelmäksi.

Nelikiihtyvyys

Kappaleen nelikiihtyvyys määritellään seuraavasti:

$\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).$

missä a = du/dt kolmiulotteinen kiihtyvyys. Koska U:n pituus on vakio, nelikiihtyvyys on (pseudo)-ortogonaalinen nelinopeuden kanssa, toisin sanoen nelinopeuden ja nelikiihtyvyyden Minkowskin sisätulo on nolla:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U_{\mu })=0\,$

kaikille maailmanviivoille. Geometrisesti nelikiihtyvyys merkitsee maailmanviivan kaarevuusvektoria Minkowskin avaruudessa.

Dynamiikka

Neliliikemäärä

Massalliselle kappaleelle, jonka lepomassa tai invariantti massa on m', neliliikemäärä määritellään:

$\mathbf {P} =m\mathbf {U} =m\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=(E/c,\mathbf {p} )$

missä liikkuvan kappaleen kokonaisenergia on:

$E=\gamma (\mathbf {u} )mc^{2}$

ja sen relativistinen kokonaisliikemäärä on:

$\mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m\mathbf {u}$

Laskemalla neliliikemäärän sisätulo itsensä kanssa saadaan:

$\|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2}$

ja myös:

$\|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p}$

mistä saadaan kappaleen energian ja liikemäärän välinen yhteys:

$E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(mc^{2})^{2}\,.$

Tämä tulos on käyttökelpoinen relati­visti­sessa meka­niikassa ja oleellisen tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa sekä relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa, joita kaikkia sovelletaan hiukkas­fysiikassa.

Nelivoima

Hiukkaseen vaikuttava nelivoima määritellään vastaavalla tavalla kuin voima on Newtonin toisen lain mukaisesti määritelty liikemäärän aika­derivaattana:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )(P/c,\mathbf {f} )$

missä P on se teho, jolla kappaleen liikkeeseen vaikutetaan, ja f kappaleeseen vaikuttava (kolmi­ulotteinen) voima. Kappaleeseen, jonka lepomassa m on vakio, vaikuttava nelivoima voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös seuraavasti:

$\mathbf {F} =m\mathbf {A} =m\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)$

Neli­voimalle ja neli­nopeudelle voidaan sen perusteella, mitä edellä todettiin neli­kiihtyvyydestä, johtaa tulos:

$\mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=mA^{\mu }U_{\mu }=0$

Termodynamiikka

Nelilämpövuo

Nelilämpövuo on vektorikenttä, joka on oleellisesti saman­kaltainen kuin kolmi­ulotteinen lämpövuo q väli­aineen paikallisessa vertailujärjestelmässä:

$\mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)$

missä T on absoluuttinen lämpötila ja k lämmönjohtavuus.

Nelibaryonilukuvuo

Baryonien vuo on:

$\mathbf {S} =n\mathbf {U}$

missä n on baryonien lukumääräinen tiheys baryonien paikallisessa lepo­koordinaatistossa (positiivinen baryoneille, negatiivinen anti­baryoneille), ja U on baryonien muodostaman aineen nelinopeus.

Nelientropia

Entropiaa vastaava nelivektori, nelientropia, määritellään:

$\mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}$

missä s on entropia baryonia kohti ja T absoluuttinen lämpötila aineen paikallisessa lepo­koordinaatistossa.

Sähkömagnetismi

Seuraavassa on joitakin esimerkkejä sähkömagnetismiin liittyvistä neli­vektoreista.

Nelivirta

Sähkövirtaa kuvaava nelivektori, nelivirta, määritellään seuraavasti:

$\mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)$

missä j on virrantiheys ja ρ varaustiheys.

Nelipotentiaali

Sähkömagneettinen nelipotentiaali määritellään:

$\mathbf {A} =\left(\phi /c,\mathbf {a} \right)$

missä a on vektoripotentiaali ja ϕ skalaaripotentiaali. Nelipotentiaali ei ole yksi­käsitteisesti määritelty, koska se riippuu siitä, minkä kohdan potentiaali on valittu nolla­kohdaksi.

Aaltoliike

Nelitaajuus

Tasoaaltoa voidaan kuvata neli­taajuudella, joka määritellään seuraavasti:

$\mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)$

missä ν on aallon taajuus ja ${\hat {\mathbf {n} }}$ aallon etenemis­suuntaan osoittava yksikkövektori. Saadaan:

$\|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0$

joten nelitaajuuden magnitudi on aina nolla.

Neliaaltovektori

Aalto­liikettä tarkas­tel­ta­essa käytetään usein aikaan t ja pituuteen r kääntäen verrannollisia suureita, kulma­taajuutta ω ja aaltovektoria k. Suhteellisuus­teoriassa nämä voidaan yhdistää neli­vektoriksi, neliaaltovektoriksi:

$\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,.$

Likipitäen monokromaattisen valon muodostamaa aaltopakettia kuvaa yhtälö:

$\mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu (1,{\hat {\mathbf {n} }})={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.$

Aineaaltoja koskevat de Broglien relaatiot voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi:

$\mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} \,.$

missä h on Planckin vakio jaettuna 2π:llä. Tämän normin neliö on:

$\|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,$

ja yhdistämällä tämä sekä de Broglien relaatio

$\|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\,,$

saadaan energian ja liikemäärän yhteyttä vastaava relaatio aine­aalloille:

$\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\,.$

Voidaan todeta, että massattomilla hiukkasilla (m = 0) tästä saadaan:

$\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,$

tai ||k|| = ω/c. Tämä on yhteen­sopiva edellisen kanssa. Niinpä fotonien kolmi­liike­määrä on ω/c aaltojen etenemis­suunnassa, jonka määrittelee yksikkö­vektori ${\hat {\mathbf {n} }}$.

Kvanttiteoria

Kvantti­mekaniikassa toden­näköisyyden neli­virta on analoginen sähkö­magneettiselle neli­virralle:

$\mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )$

missä ρ on aikakomponenttia vastaava toden­näköisyyden tiheysfunktio ja vektori 'j on toden­näköisyys­virta. Epärelativistisessa kvantti­mekaniikassa tämä virta on aina hyvin määritelty, koska tiheyden ja virran lausekkeet ovat positiivisia ja ne voidaan tulkita toden­näköisyyksinä. Rela­ti­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ­ja kvanttikenttäteoriassa ei aina ole mahdollista määritellä virtaa, varsinkaan kun vuorovaikutukset otetaan huomioon.

Jos energia korvataan energiaoperaattorilla ja liikemäärä neliliikemäärän liikemääräoperaattorilla, saadaan relati­visti­sissa aalto­yhtälöissä käytetty neliliikemääräoperaattori.

Muita muotoiluja

Nelivektorit fysikaalisen avaruuden algebrassa

Nelivektori A voidaan määritellä myös käyttämällä Paulin matriiseja kantana, jolle voidaan käyttää monia yhtäpitäviä merkin­tätapoja:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3})\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}$

tai eksplisiittisesti:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$.

Tässä muotoilussa neli­vektoria ei esitä reaali­arvoinen rivi- tai sarake­vektori vaan hermiittinen matriisi, siis sellainen, jonka transpoosin kompleksikonjugaatti on sama kuin alkuperäinen matriisi. Matriisin determinantti on neli­vektorin modulus ja näin ollen invariantti:

${\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\&=(A^{0}+A^{3})(A^{0}-A^{3})-(A^{1}-iA^{2})(A^{1}+iA^{2})\\&=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}\end{aligned}}$

Tätä ideaa Paulin matriisien käyttämisestä kanta­vektoreina sovelletaan fysikaalisen avaruuden algebrassa, ja se on esimerkki Cliffordin algebrasta.

Nelivektorit aika-avaruuden algebrassa

Aika-avaruuden algebra on toinen esimerkki Cliffordin algebrasta. Siinä myös gamma-matriisit voivat muodostaa kannan. Niitä sanotaan myös Diracin matriiseiksi, koska ne esiintyvät Diracin yhtälössä. Gamma-matriisit voidaan muodostaa usealla eri tavalla.

Feynmanin slash-notaatio on eräs lyhyt merkitätapa nelivektorille A gammamatriisien avulla:

$\mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}$

Gammamatriisien avulla lyhyesti kirjoitettu neliliikemäärä on tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ja relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa. Diracin yhtälössä ja muissa rela­tivisti­sissa aalto­yhtälöissä esiintyy muotoa

$\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}+p_{x}\gamma ^{1}+p_{y}\gamma ^{2}+p_{z}\gamma ^{3}$

olevia termehä, joissa energia­komponentti E ja liike­määrä­komponentit (p_x,p_y, p_z) korvataan niitä vastaavilla operaattoreilla.