Kanta (lineaarialgebra)

Karteesisen avaruuden kantavektorit: punainen ja sininen nuoli

Lineaarialgebrassa kanta on pienin mahdollinen joukko vektoreita, joiden lineaarikombinaationa saadaan kaikki annetun avaruuden vektorit. Tarkemmin sanottuna vektoriavaruuden kanta on joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka virittävät koko avaruuden.

Määritelmä

Oletetaan, että B = { v₁, …, v_n } on vektoriavaruuden V äärellinen osajoukko. Tällöin B on kanta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. v₁, …, v_n ovat lineaarisesti riippumattomia ja

2. jokainen V:n vektori voidaan lausua vektoreiden v₁, …, v_n lineaarikombinaationa. Toisin sanoen vektorit v₁, …, v_n virittävät V:n eli span(v₁, …, v_n) = V.

Lineaarikombinaatio on äärellinen summa muotoa a₁v₁ + … + a_nv_n, missä v_k:t ovat B:n eri vektoreita ja a_k:t ovat skalaareita. Vektorit B:ssä ovat lineaarisesti riippumattomia, jos a₁v₁ + … + a_nv_n = 0, jos ja vain jos a₁ = … = a_n = 0. Joukko B on virittäjäjoukko, jos jokainen V:n vektori on lineaarikombinaatio B:n vektoreista.

Kannan ominaisuuksia

Jokaisella vektoriavaruudella on kanta. Kaikilla yhden vektoriavaruuden kannoilla on sama määrä vektoreita. Tätä kannan vektorien lukumäärää kutsutaan vektoriavaruuden dimensioksi dim(V). Käsite kertoo siis samalla minimaali­sen määrän vektoreita, joka riittää virittämään V:n. Tasossa kaksi erisuuntaista vektoria on tason kanta. Kolmi­ulotteisessa avaruudessa kolme vektoria, jotka eivät ole samassa tasossa, muodostavat kannan. Toisin sanoen kantaa voidaan ajatella koordinaattiakselistona.

Kanta on vain joukko vektoreita ilman järjestystä. Usein on kuitenkin kätevää luetella kantavektorit tietyssä järjestyksessä. Tätä järjestettyä kantaa ei määritellä joukoksi, vaan sarjak­si lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka virittävät V:n. Jos vektorit u, v, w muodostavat avaruuden kannan, se voidaan ilmoittaa järjestettynä kolmikkona (u, v, w). Tällöin jokaista vektoria a vastaa yksikäsitteisesti järjestetty lukukolmikko (r, s, t) siten, että a = ru + sv + tw. Luvut r, s ja t ovat a:n koordinaatit kannan (u, v, w) suhteen ja järjestettyä kolmikkoa (r, s, t) nimitetään vektorin a koordinaattiesitykseksi.

Samalle vektori­avaruudelle voidaan kuitenkin muodostaa kanta monella eri tavalla. Vektorin koordinaatit riippuvat siis käytetystä kannasta ja muuttuvat, kun siirrytään kannasta toiseen eli suoritetaan kannanvaihto.

Kannaksi laajentaminen

Minkä tahansa lineaarisesti riippumattoman joukon ja virittävän joukon välissä on kanta. Muodollisemmin sanottuna: jos L on lineaarisesti riippumaton joukko vektoriavaruudessa V ja jouk­ko G virittää V:n ja sisältää joukon L, niin on olemassa V:n kanta, joka sisältää L:n ja joka sisältyy G:hen. Nimenomaan (kun G = V) mikä tahansa lineaarisesti riippumaton joukko L voidaan laajen­taa muodostamaan V:n kannan. Nämä laajennukset eivät ole yksikäsitteisiä. Virittäjäjoukkoa voidaan myös karsia (pudottamalla sopivat vektorit pois), jotta siitä saadaan kanta.

Esimerkki

Ajatellaan koordinaattiavaruutta R² kaikkien koordinaattien (a,b) vektoriavaruutena, missä sekä a että b ovat molemmat reaalilukuja. Tällöin helppo kanta on yksinkertaisesti vektorit e₁ = (1,0) ja e₂ = (0,1): oletetaan että v = (a,b) on vektori avaruudessa R², tällöin v = a(1,0)+ b(0,1). Yksi mahdollinen R²:n kanta on v = (-2,1) = (-2)(1,0) + (1)(0,1). Se on esitetty myös koordinaatistoon piirrettynä kuvassa sivun yläreunassa. Kuitenkin mitkä tahansa kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria, kuten (1,1) ja (-1,2), voivat myös muodostaa R²:n kannan.

Yleisemmin vektorit e₁, e₂, ..., e_n ovat lineaarisesti riippumattomia ja virittä­vät avaruuden Rⁿ. Siten ne muodostavat Rⁿ:n kannan ja Rⁿ:n dimensio on n.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0