Osittaisderivaatta

Osittaisderivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta yhden muuttujansa suhteen annetulla muuttujan arvolla. Osittaisderivaatalla voidaan tutkia, mikä vaikutus yhden muuttujan muutoksella on funktion arvoon varioitavan muuttujan arvon ympäristössä. Sillä on sovelluksia tieteen, tekniikan ja talousteorian aloilla.

Johdanto

Merkitseminen

Kuvaaja pinnasta z = x² + xy + y². Osittaisderivaattaa pisteessä (1, 1, 3) voidaan tarkastella x-akselin suuntaisella, kohdan y = 1 kautta kulkevalla ja pinnasta esiin leikatulla xz-tason suuntaisella tasolla (merkitty pystyviivoin).

Siinä tasossa olevien pisteiden koordinaatit ovat muotoa (x, 1, z) ja pinnasta leikatun käyrän tangentti pisteessä (1, 1, 3) on piirretty punaisella. Punaisen tangentin kulmakerroin kyseisellä tasolla on 3.

Yksinkertaisuuden vuoksi merkitään usean muuttujan funktiota $f(x,y,z,...)$, jolloin muuttujan x suhteen otettua osittaisderivaatta merkitään esimerkiksi

$D_{x}f,\,f'_{x},f_{x},{\frac {\partial }{\partial x}}f{\text{ tai }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

Osittaisderivoinnin symboli on $\partial$ ja se esiintyy ensimmäisen kerran vuonna 1770 Nicolas de Condorcet'n kirjoituksissa, missä hän käytti osittaisderivaattaa. Nykymuodossaan olevia osittaisderivaatan merkintöjä käytti ensimmäisenä Adrien-Marie Legendre vuonna 1786. Hän hylkäsi ne myöhemmin, mutta Carl Gustav Jacob Jacobi otti sen uudelleen käyttöönsä vuonna 1841.

Esimerkki

Funktion $f:\,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ kuvaajaa (x,y,z)- koordinaatistossa (kuva vieressä) esittää yhtälö

$z=f(x,y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Kuvaaja esittää kaksiulotteista pintaa kolmiulotteisessa tilassa ja pinnan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangenttisuoria äärettömän moneen suuntaan. Tangentit osoittavat pinnan jyrkkyyden eri suunnissa. Kun määritetään pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa, käytetään siihen tangenttia, joka on yhdensuuntainen xz-tason kanssa. Pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa saadaan selville osittaisderivaatalla muuttujan x suhteen

${\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial (x^{2}+xy+y^{2})}{\partial x}}={\frac {\partial x^{2}}{\partial x}}+{\frac {\partial xy}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{2}}{\partial x}}=2x+y+0=2x+y.$

Jyrkkyys riippuu luonnollisesti vielä paikasta (x,y). Valitaan xy-tason pisteeksi (1,1) ja lasketaan osittaisderivaatta siinä kohdassa

${\frac {\partial z}{\partial x}}(1,1)=2\cdot 1+1=3$

Tangentti sivuaa pintaa $z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$ pisteessä, jossa z-koordinaatti on

$z=f(1,1)=1^{2}+1\cdot 1+1^{2}=3$

eli koordinaattipisteessä (1,1,3). Näin on saatu viereisten kuvaajien mukainen tulos.

Määritelmä

Merkitään usean muuttujan arvoja vektoreilla $a=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}),{\text{ missä }}a\in \mathbf {R} ^{n}$. Kun myös $x\in \mathbf {R} ^{n}$, on funktio $f(x)$ reaaliarvoinen usean muuttujan funktio. Tavallisen reaalifunktion derivaatan tapaan osittaisderivaatta on määritelty erotusosamäärän raja-arvona muuttujan $x_{i}$ suhteen, kun muut muuttujat kohdellaan derivoinnin ajan vakioina.

Olkoon $U\subset \mathbf {R} ^{n}$ pisteen $a$ ympäristössä (avoin joukko), jossa funktio $f:U\to \mathbf {R}$ on määritelty (ehkä lukunottamatta pisteessä $a$). Funktion $f$ osittaisderivaatta muuttujan $x_{i}$ suhteen pisteessä $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ on määritelty seuraavasti erotusosamäärään raja-arvon avulla:

$f'_{x_{i}}(a)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}.$

Raja-arvo määritetään tämän jälkeen normaalisti funktion raja-arvona. Osittaisderivaattaa, joka on saatu vain kerran derivoimalla, kutsutaan myös ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaataksi.

Osittaisderivaattafunktiot

Osittaisderivaattafunktio on usean muuttujan funktiolauseke, jolla voi laskea funktion osittaisderivaatan arvon halutussa pisteessä. Osittaisderivaattafunktio on vastaava käsite kuin derivaattafunktio, mutta siinä derivoidaan lauseke vain yhden muuttujan suhteen muiden muuttujien jäädessä vakion asemaan.

Esimerkki

Geometriassa ympyräpohjaisen kartion tilavuus V riippuu sen korkeudesta h ja pohjan säteestä r seuraavasti:

$V=V(r,h)={\frac {r^{2}h\pi }{3}}={\pi \over 3}r^{2}h.$

Se voidaan tulkita kahden muuttujan funktioksi $V(h,r)$, jonka osittaisderivaattafunktio muuttujan r suhteen on

$V'_{r}(r,h)={\frac {\partial V(r,h)}{\partial r}}={\frac {\partial ({\pi \over 3}r^{2}h)}{\partial r}}={\pi \over 3}2rh={\frac {2rh\pi }{3}}$.

Tämä kuvaa kartion tilavuuden muutosta pohjan säteen muuttuessa ja korkeuden pysyessä vakiona.

Osittaisderivaattafunktio, kun derivoidaan muuttujan h:n suhteen on

$V'_{h}(r,h)={\frac {\partial V(r,h)}{\partial h}}={\frac {\partial ({\pi \over 3}r^{2}h)}{\partial h}}={\pi \over 3}r^{2}\cdot 1={\frac {r^{2}\pi }{3}}$

joka puolestaan kuvaa kartion tilavuuden muutosta korkeuden muuttuessa ja pohjan säteen pysyessä vakiona.

Useamman kertaluvun osittaisderivaatat

Kertaluvulla ilmaistaan osittaisderivointien lukumäärää. Kolmannen kertaluvun osittaisderivaatta saadaan osittaisderivoimalla funktio yhden muuttujan suhteen ja tämä derivaatta osittaisderivoidaan jonkun muuttujan suhteen ja tämä toiseen kertaan osittaisderivoitu lauseke osittaisderivoidaan kolmannen kerran yhden muuttujansa suhteen. Valitut muuttujat eivät vaikuta kertalukuun.

Toisen kertaluvun osittaisderivaatat

Toisen kertaluvun osittaisderivaatta voidaan määritellä luonnollisella tavalla derivoimalla useamman muuttujan funktio kahdesti joko saman muuttujan suhteen tai kahden eri muuttujan suhteen. Seuraavassa on muutama esimerkki derivoinnin järjestämiseksi ja osittaisderivaattojen merkitsemisistä. Jos usean muuttujan funktiota merkitään $f(x,y,\dots )$ (eli $f:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$), niin siitä voidaan muodostaa seuraavanlaiset toisen kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen:

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial x}{\partial \over \partial x}f(x,y,\dots )=f_{xx}(x,y,\dots )=f_{11}(x,y,\dots )$

${\partial ^{2} \over \partial y^{2}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial y}{\partial \over \partial y}f(x,y,\dots )=f_{yy}(x,y,\dots )=f_{22}(x,y,\dots )$

${\partial ^{2} \over {\partial y\partial x}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial y}{\partial \over \partial x}f(x,y,\dots )=f_{xy}(x,y,\dots )=f_{12}(x,y,\dots )$

${\partial ^{2} \over {\partial x\partial y}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}f(x,y,\dots )=f_{yx}(x,y,\dots )=f_{21}(x,y,\dots )$

Merkinnät $f_{xy}(x,y,\dots )=f_{12}(x,y,\dots )$ tarkoittavat, että ensin funktio derivoidaan muuttujan x suhteen ja derivoitu funktio derivoidaan sitten muuttujan y suhteen. Useimmiten osittaisderivaatat $f_{xy}=f_{yx}$ ovat identtiset, mutta esimerkiksi epäjatkuvuudet voivat rikkoa symmetrisyyden.

Yleinen merkintätapa

Kun derivoidaan useasti ja eri muuttujien suhteen, syntyy erilaisia osittaisderivaattoja. Esimerkiksi

${\partial \over \partial y}{\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial z}f(x,y,z)={\partial ^{5} \over {\partial y\partial x\partial y^{2}\partial z}}f(x,y,z)=f_{zyyxy}$

on viidennen kertaluvun osittaisderivaatta. Jos derivointijärjestyksellä ei ole tällä kertaa merkitystä, voidaan esitys yksinkertaistaa

$f_{zyyxy}=f_{xyyyz}={\partial ^{5} \over {\partial x\partial y^{3}\partial z}}f(x,y,z).$

Katso myös

• Gradientti on eräs suunnattu derivaatta, jossa käytetään osittaisderivointia
• Jacobin matriisi ja Hessen matriisi

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Internetix: 7.1 Osittaisderivaatat, katsottu 2.10.2014
• Gustavson: Osittaisderivaatat^{[vanhentunut linkki]}, Aalto-yliopisto, 2.10.2014
• Kangaslampi, R.: 6. Osittaisderivaatta 1^{[vanhentunut linkki]}, Osittaisderivaatta 2^{[vanhentunut linkki]}, 2012
• Silvennoinen, Risto: Luku 3. Raja-arvot. Osittaisderivaatat. (Arkistoitu – Internet Archive), 2010
• Hästö, Peter (Arkistoitu – Internet Archive): Analyysi II (Arkistoitu – Internet Archive), Oulun yliopisto, 2007