Transpoosi

Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin. Neliömatriisin transpoosi saadaan peilaamalla alkiot päälävistäjän suhteen. Matriisin A transpoosia merkitään A^tr, ^tA, A′ tai A^T.

Muodollisesti m×n-matriisin A transpoosi on n×m-matriisi A^T, jolle A^T[i, j] = A[j, i] kaikilla 1 ≤ i ≤ n ja 1 ≤ j ≤ m.

Esimerkiksi

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\quad \quad {\mbox{ja}}\quad \quad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

Ominaisuuksia

Kaikille m×n-matriiseille A ja B ja kaikille skalaareille c pätee (A + B)^T = A^T + B^T ja (c A)^T = c (A^T). Tämän perusteella transpoosi on lineaarikuvaus m×n-matriisien joukosta n×m-matriisien joukkoon.

Transpoosi on itsensä käänteiskuvaus eli (A^T)^T = A.

Jos A on m×n-matriisi ja B on n×k-matriisi, on (AB)^T = (B^T)(A^T). Huomaa, että tulon tekijöiden järjestys vaihtuu. Tästä voidaan päätellä, että neliömatriisi A on kääntyvä vain, jos A^T on kääntyvä. Tällöin on (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹.

Kahden (pysty)vektorin a ja b pistetulo voidaan laskea matriisitulona

${\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {b}}\,$

missä oikealla puolella oleva tulo on tavallinen matriisien kertolasku.

Jos A on mielivaltainen reaalikertoiminen m×n-matriisi, on A^TA positiivisesti semidefiniitti matriisi.

Jos A on n×n-matriisi jossain kunnassa, on A similaarinen transpoosinsa A^T kanssa.

Lisää määritelmiä

Jos neliömatriisi A on itsensä transpoosi, A:ta sanotaan symmetriseksi. Siis A on symmetrinen vain, jos

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$

Ortogonaalinen matriisi on matriisi A, jolle A^-1=A^T.

Jos neliömatriisille A pätee A^T=-A, sanotaan A:ta vinosymmetriseksi.

Kompleksikertomisen matriisin A konjugaattinen transpoosi A^* saadaan kun A transponoidaan ja sen jälkeen jokaisesta alkiosta otetaan kompleksikonjugaatti.

Lineaarikuvausten transpoosi

Jos f: V→W on vektoriavaruuksien välinen lineaarinen operaattori duaaliavaruuksinaan W* ja V*, on f:n transpoosi määritelmän mukaan lineaarikuvaus ^tf : W*→V*, jolle

${}^{t}f(\phi )=\phi \circ f\,$

  kaikilla $\ \phi \in$ W*.

Jos matriisi A on kahden kannan välinen lineaarikuvaus, on matriisi A^T kahden duaaliavaruuden kannan välinen lineaarikuvaus.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).