Lorentz-muunnos

Lorentz-muunnos eli Lorentzin muunnos on koordinaattijärjestelmän muunnos, jonka Hendrik Antoon Lorentz keksi yrittäessään selittää valon käyttäytymistä esimerkiksi Michelsonin-Morleyn kokeessa. Myöhemmin Albert Einstein muotoili erityisen suhteellisuusteorian, ja korvasi siinä klassisen mekaniikan Galilein muunnoksen Lorentz-muunnoksella.

Esitystapa

Kuvitellaan, että järjestelmä (havaitsija) P' liikkuu järjestelmästä P katsottuna positiivisen x-akselin suuntaan nopeudella v. Merkitään valonnopeutta kirjaimella c, aikaa kirjaimella t, ja paikkaa suorakulmaisilla koordinaateilla x,y ja z. Tällöin Lorentzin muunnoksen yhtälöt ovat

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$y'=y\,\!$

$z'=z\,\!$

$t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Lorentzin muunnoksessa aika ei ole absoluuttinen suure, eli tapahtumien välinen aika ei kaikkien havaitsijoiden mielestä ole sama. Kun järjestelmässä P kuluu t sekuntia, järjestelmässä P' on kulunut viimeisen yhtälön mukainen aika. Esimerkiksi jos järjestelmä P' liikkuu P:n suhteen nopeudella 1/2c eli noin 150 miljoonaa metriä sekunnissa ja järjestelmät olivat aluksi (hetkellä t=0) päällekkäin, niin kun järjestelmässä P on kulunut yksi sekunti (t=1s), niin (järjestelmästä P katsottuna) järjestelmässä P' on kulunut vain noin 0,87 sekuntia (t'=0,87s). "Käytännössä" tämä tarkoittaa sitä, että kun katsomme esimerkiksi nopeasti kiitävää avaruusalusta, aika näyttää siellä kuluvan hitaammin kuin meidän aikamme. Ilmiö on myös mitattu hyvin tarkoilla atomikelloilla joita on lennätetty satelliiteissa.

Myöskään tapahtumien väliset etäisyydet eivät kaikkien havaitsijoiden mielestä ole samat. Järjestelmästä P mitattuna järjestelmän P' x-akseli näyttää "painuneen kasaan". Jos järjestelmän P' mukana liikkuu esimerkiksi raketti, järjestelmässä P oleva havaitsija mittaa sen lyhyemmäksi kuin raketin kyydissä oleva havaitsija.

Lorentzin muunnosta voi verrata koordinaattijärjestelmän kiertoon. Kun kolmiulotteista euklidisen avaruuden suorakulmaista koordinaattijärjestelmää halutaan kiertää kulman a verran z-akselin ympäri, saadaan yhtälöt:

$x'=x\cos a+y\sin a$

$y'=y\cos a-x\sin a$

$z'=z$

Kierrossa uusi x' ja y' ovat vanhojen x ja y koordinaattien "sekoitukset". Myös Lorentzin muunnoksessa aika ja liikkeen suuntainen koordinaatti sekoittuvat toisiinsa. Lorenzin muunnos on tavallaan paikan ja ajan "kierto", joskaan se ei matemaattisesti ole täysin sitä vastaava. Kaikissa tavallisissa suorakulmaisten koordinaattien kierroissa on säilyvä suure, $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, joka on pisteen origosta mitatun etäisyyden neliö. Lorentzin muunnoksessakin on eräs säilyvä suure, $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$. Tätä suuretta kutsutaan joskus aika-avaruuden etäisyyden neliöksi. Se säilyy samana kaikissa Lorentzin muunnoksissa.

Lorentz-muunnosta voidaan kuvata helposti myös nelivektoreilla

Lorentz-muunnoksen johtaminen

Lorentz-muunnosten pohjaksi otetaan yleisin mahdollinen lineaarinen muunnos

$\,\!x'=Ax+Bt$

$\,\!t'=Ct+Dx$

jossa x ja t ovat objektin paikka ja aika vanhassa koordinaatistossa P, x' ja t' koordinaatit uudessa koordinaatistossa P' ja A, B, C, ja D tuntemattomia vakioita.

1. Ensiksi vaaditaan, että valon nopeus tyhjiössä on vakio c, ja riippumaton koordinaatistosta.

Objektin nopeus koordinaatistossa P on ${\frac {dx}{dt}}$ ja koordinaatistossa P' ${\frac {dx'}{dt'}}$

Jos nopeus ${\frac {dx}{dt}}$ koordinaatistossa P on c, on sen oltava c myös koordinaatistossa P'

${\frac {dx'}{dt'}}=c={\frac {d(Ax+Bt)}{d(Ct+Dx)}}={\frac {(Adx+Bdt)}{(Cdt+Ddx)}}={\frac {(A{\frac {dx}{dt}}+B)}{(C+D{\frac {dx}{dt}})}}={\frac {(Ac+B)}{(C+Dc)}}$

$\,\!B=Dc^{2}+(C-A)c$

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan jatkossa nimellä yhtälö 1

2. Nopeus on suhteellista

P liikkuu P':n suhteen nopeudella -v
P:n origo on x = 0, joka koordinaatistossa P' on

$\,\!x'=x-vt'=0-vt'=-vt'$

$\,\!x'(x=0)=A*0+Bt=-vt'(x=0)=-vCt$

$\,\!B=-vC$

P':n origo on x' = 0, joka on P:ssä x = vt

$\,\!0=x'=Ax(x'=0)+Bt=Avt+Bt$

$\,\!Avt+Bt=0$

$\,\!{\frac {B}{A}}=-v$

Näistä yhtälöistä saadaan

$\,\!C=A={\frac {-B}{v}}$

Sijoitetaan yhtälöön 1

$\,\!Dc^{2}+(A-A)c=B$

$\,\!D={\frac {B}{c^{2}}}$

3. Oletetaan, että hetkellä t = 0 koordinaatistot ovat P:sta katsoen päällekkäin

$\,\!x'(t=0)=Ax$

$x_{1}'-x_{2}'\equiv \Delta x'(t=0)\equiv L_{0}=A*\Delta x$

$\Delta x={\frac {L_{0}}{A}}$

Hetkellä t' = 0 koordinaatistot ovat päällekkäin P'sta katsottuna

$0\,\!=t'=Ct+Dx=-{\frac {B}{v}}t+{\frac {B}{c^{2}}}x$

$t=x{\frac {v}{c^{2}}}$

$\,\!x'=Ax+Bt=Ax-vAt=A(x-vt)=A(x-x{\frac {v^{2}}{c^{2}}})$

$\Delta x'=A\Delta x-\Delta x{\frac {v^{2}}{c^{2}}}=A(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})\Delta x\equiv A(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})L_{0}$

Pituuden on näytettävä samalta molemmille koordinaatistoille silloin, kun ne ovat päällekkäin.

$\,\!\Delta x=\Delta x'$

${\frac {L_{0}}{A}}=L_{0}A(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})$

$A^{2}={\frac {1}{(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})}}$

Tästä saadaan lopulta muunnokset

$\,\!x'=A(x-vt)$

$\,\!t'=A(t-{\frac {v}{c^{2}}}x)$

A on tässä Lorentz-kerroin, $A=\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}$.