Skalaaripotentiaali

Skalaaripotentiaali on vektorianalyysiin liittyvä käsite. Matemaattisessa fysiikassa se kuvaa kappaleen potentiaalienergiaa tilanteessa, jossa tämä riippuu ainoastaan kappaleen sijainnista, ei tiestä, jota pitkin se on kulkenut paikasta toiseen. Skalaaripotentiaali on kolmiulotteisessa avaruudessa määritelty skalaarikenttä, toisin sanoen skalaarisuure, jolla ei ole määrättyä suuntaa ja joka riippuu vain paikasta. Tunnettu esimerkki tästä on gravitaatioon liittyvä kappaleen potentiaalienergia.

Vectorikenttä (oikealla) ja sitä vastaava skalaaripotentiaali (vasemmalla).

Skalaaripotentiaali on keskeinen käsite vektorianalyysissä ja fysiikassa. Usein sitä sanotaan lyhyesti potentiaaliksi, jos ei ole sekaanuksen vaaraa vektoripotentiaalin kanssa. Skalaaripotentiaali on esimerkki skalaarikentästä. Jos on annettu vektorikenttä $\mathbf {F}$, sen skalaaripotentiaali $P$ määritellään fysiikassa siten, että

$\mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),$

missä <math\mabla P</math> on $P$:n gradientti. Skalaaripotentiaali on siis vektorikentän gradientin vastaluku. Matematiikassa potentiaali määritellään kuitenkin toisinaan funktioksi, jonka gradientti on annettu vektorikenttä sellaisenaan Tästä P:n määritelmästä seuraa, että vektorikentän F:n suunta on kaikkialla se, mihin kuljettaessa P pienenee nopeimmin, ja sen itseisarvo on sama kuin P:n muutosnopeus pituusyksikköä kohti tässä suunnassa.

Vektorikentällä F on skalaaripotentiaali, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat, keskenään yhtäpitävät ehdot:

1. On olemassa sellainen skalaarifunktio P, ett' $-\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),$, kun integrointi suoritetaan mitä tahansa pisteestä a pisteeseen b johtavaa Jordanin kaarta pitkin
2. $\oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,$ missä integraali suoritetaan mitä tahansa suljettua käyrää eli Jordanin käyrää pitkin.
3. ${\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.$

Näistä ehdoista ensimmäinen esittää gradientin peruslausetta, ja se pätee jokaiselle vektorikentälle, joka on jonkin differentioituvan yksiarvoisen skalaarikentän P gradientti. Toinen ehto merkitsee, että F voidaan esittää jonkin skalaarifunktion gradienttina. Kolmas ehto tarkoittaa, että funktion F roottori on nolla. Vektorikenttää, joka täyttää nämä ehdot, sanotaan pyörteettömäksi.

Gravitaatiopotentiaalikuoppa, kun massa kasvaa ja $F=-\nabla P$

Skalaaripotentiaalilla on tärkeä merkitys monilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Gravitaatiopotentiaali on yksikkömassaan kohdistuvan gravitaatiovoiman, toisin sanoen gravitaatiokentän aiheuttaman kiihtyvyyden skalaaripotentiaali, ja samalla se on yksikkömassan potentiaalienergia tässä kentässä. Elektrostatiikassa sähköinen potentiaali on sähkökentän voimakkuuteen liittyvä skalaaripotentiaali ja samalla elektrostaattinen potentiaali yksikkövarausta kohti. Fluididynamiikassa pyörteettömillä lamellaarisella kentällä on skalaaripotentiaali vain siinä erikoistapauksessa, jossa se on Laplacen kenttä. Potentiaalilla on keskeinen osa Lagrangen ja Hamiltonin esittämissä klassisen mekaniikan muotoiluissa. Lisäksi skalaaripotentiaalilla on perustava merkitys kvanttimekaniikassa.

Kaikilla vektorikentillä ei ole skalaaripotentiaalia. Kenttiä, joilla sellainen on, sanotaan konservatiivisiksi, sillä ne liittyvät läheisesti fysikaaliseen konservatiivisen voiman käsitteeseen. Esimerkiksi gravitaatio ja sähköstaattinen voima ovat konservatiivisia, kun taas /kitka ja magneettiset voimat eivät ole. Helmholtzin dekompositiolauseen mukaan kuitenkin kaikki vektorikentät voidaan esittää pyörteettömän ja lähteettömän kentän summana. Elektrodynamiikassa sähkömagneettinen skalaari- ja vektoripotentiaali yhdessä muodostavat niin sanotun sähkömagneettisen nelipotentiaalin.

Integroituvuusehdot

Jos F on konservatiivinen, toisin sanoen pyörteetön vektorikenttä ja sen komponenteilla on jatkuvat osittaisderivaatat, F:n potentiaali pisteessä r voidaan määritellä viivaintegraalina:

$V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,$

missä C on parametrisoitu polku pisteestä r₀ pisteeseen r.

$\mathbf {r} (t),a\leq t\leq b,\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ,\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .$

Se seikka, että polun C viivaintegraali riippuu vain sen päätepisteistä r₀ ja r, on oleellisesti sama asia kuin konservatiivisen vektorikentän polkuriippumattomuus. Viivaintegraalien peruslauseesta eli gradienttilauseesta seuraa, että jos V määritellään tällä tavoin, on $F=-\nabla V$, jolloin V on konservatiivisen vektorikentän F:n skalaaripotentiaali. Vektorikenttä ei kuitenkaan määrittele skalaaripotentiaalia yksikäsitteisesti, sillä funktion gradientti pysyy ennallaan, jos funktioon lisätään mielivaltainen vakio. Toisin sanoen jos V on F:n skalaaripotentiaali, myös jokainen muotoa V + 'C oleva funktio, missä C on vakio, on F:n skalaaripotentiaali. Jos V on määritelty viivaintegraalin avulla, tämä liittyy siihen, että nollapiste r₀ voidaan vapaasti valita.

Korkeus gravitaatiopotentiaalina

Vakio gravitaatiokenttä maan pinnan lähellä

Gravitaatiopotentiaalin kaksiulotteinen poikkileikkaus homogeenisen pallomaisen kappaleen lähellä. Poikkileikkauksen käännepisteet ovat kappaleen pinnalla

.

Esimerkkinä fysikaalisesta skalaaripotentiaalista voidaan tarkastella gravitaatiokenttää, joka Maan pinnan läheisyydessä on likipitäen vakio. Siellä kappaleen potentiaalienergia on

$U=mgh$,

missä h on kappaleen korkeus maan pinnasta. Tämä merkitsee, että kappaleen potentiaalienergia on suoraan verrannollinen sen korkeusasemaan. Mäkisessä maastossakin kappaleen potentiaalienergian U gradientin vastavektori F osoittaa suoraan alaspäin, painovoiman suuntaan. Mäen pinnalla oleva pallo ei kuitenkaan liiku suoraan alaspäin, sillä mäen antama tukivoima kumoaa painovoimasta pinnan normaalin suuntaisen komponentin. Näin ollen liikettä saa aikaan vain painovoiman mäen pinnan suuntainen komponentti:

$\mathbf {F} _{\mathrm {S} }=-mg\ \sin \theta$

missä $\theta$ on mäen kaltevuuskulma, ja F_S:n gravitaatioon nähden kohtisuora komponentti on

$\mathbf {F} _{\mathrm {P} }=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .$

Tämä voiman vaakasuora komponentti F_P on suurin, kun $\theta$ on 45 astetta.

Paine nosteen potentiaalina

Fluidimekaniikan mukaan gravitaatiokentässä olevaan fluidiin, toisin sanoen nesteeseen tai kaasuun vaikuttaa sen kussakin pisteessä noste, joka kumoaa siihen vaikuttavan gravitaatiovoiman. Tämä noste on yhtä suuri kuin painen gradientin vastaluku:

$\mathbf {f_{B}} =-\nabla p.\,$

Koska noste vaikuttaa ylöspäin, päinvastaiseen suuntaan kuin gravitaatio, paine fluidin sisällä kasvaa alaspäin mentäessä. Paine veden alla on suoraan verrannollinen veden pinnasta mitattuun syvyyteen. Veden pinnan suuntaisilla tasoilla paine on vakio.

Jos nesteessä on pystysuora pyörre, jonka akseli on kohtisuorassa nesteen pintaan vastaan, pyörteessä ja sen ympärillä paine on pienempi kuin muualla. Nesteen pinta pyörteen sisällä on alempana kuin muualla, ja samoin kaikissa tasapainepinnoissa on pyörteen pinnan kohdalla kuoppa, mutta ne ovat silti nesteen pinnan suuntaisia. Tämä ilmiö on suurin pyörteen sisällä ja pienenee sen ulkopuolella nopeasti etäännyttäessä pyörteestä.

Noste, jonka fluidi aiheuttaa siihen upotettuun kiinteään kappaleeseen, voidaan laskea integroimalla paineen gradientin vastaluku kappaleen pinnan yli:

$F_{B}=-\oint _{S}\nabla p\cdot \,d\mathbf {S} .$

Skalaaripotentiaali euklidisessa avaruudessa

Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ pyörteettömän vektorikentän E skalaaripotentiaali voidaan esittää myös muodossa $$\Phi (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi }\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$$

missä dV(r') on infinitesimaalinen tilavuusalkio pisteen r' suhteen. Niinpä $$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{1 \over 4\pi }\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$$

Tämä pätee, kun E on jatkuva ja lähestyy asymptoottisesti nollaa, kun $\|\mathbf {r} \|$ lähestyy ääretöntä ja pienenee nopeammin kuin ${\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}$, ja kun samoin myös E lähestyy äärettömyydessä nollaa ja pienenee nopeammin kuin ${\frac {1}{\|\mathbf {r} \|^{2}}}$

Tämä voidaan ilmaista myös Newtonin potentiaalin

$$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}$$

avulla. Tämä on Laplacen yhtälön perusratkaisu, mikä merkitsee, että $\Gamma$ on Diracin deltafunktion käänteisarvo:

$\nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.$

Niinpä skalaarifunktio on sama kuin E:n ja $\Gamma$:n konvoluution divergenssi:

$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).$

Itse asiassa pyörteettömän vektorikentän konvoluutio rotationaalisesti invariantin potentiaalin kanssa on myös pyörteetön. Pyörteettömälle vektorikentälle G voidaan osoittaa, että $$\nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).$$ Niinpä $$\nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E}$$ kuten vaadittiin.

Yleisemmin kaava $$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )$$ pätee jokaisessa n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, kun n > 2 ja Newtonin potentiaalin antaa lauseke $$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{n(n-2)\omega _{n}\|\mathbf {r} \|^{n-2}}}$$

missä <m\omega_n</math> on n-ulotteisen yksikköpallon tilavuus. Tämä todistetaan aivan samoin kuin kolmiulotteisessakin tapauksessa. Vaihtoehtoisesti voidaan osittaisintegroinnin tai tarkemmin sanottuna konvoluution ominaisuuksien avulla osoittaa, että

$$\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{n\omega _{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}}}\,dV(\mathbf {r} ').$$