Avoin ja suljettu kuvaus

Avoin kuvaus on sellainen kahden topologisen avaruuden välinen kuvaus, jossa jokaisen avoimen joukon kuva on avoin. Vastaavasti suljettu kuvaus on sellainen kahden topologisen avaruuden välinen kuvaus, jossa jokaisen suljetun joukon kuva on suljettu. Samakin kuvaus voi olla sekä avoin että suljettu tai olematta kumpaakaan, mutta avoimen kuvauksen ei välttämättä tarvitse olla suljettu eikä päinvastoin. Avaruuksien välinen bijektio kuitenkin on avoin kuvaus, jos se ja vain jos se on myös suljettu.

Avoimen ja suljetun kuvauksen määritelmiä voidaan verrata eräisiin jatkuvan kuvauksen kriteereihin. Kuvaus on jatkuva, jos ja vain jos siinä jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin joukko, mikä on myös yhtäpitävää sen kanssa, että jokaisen suljetun joukon alkukuva on suljettu joukko. Avoimet ja suljetut kuvaukset eivät kuitenkaan välttämättä ole jatkuvia. Yleisessä tapauksessa kuvaus voi olla jatkuva tai ei-jatkuva riippumatonta siitä, onko se myös avoin, suljettu tai molempia; näin on laita siinäkin tapauksessa, että rajoitutaan käsittelemään vain metrisiä avaruuksia tapauksessa. Vaikka avoin ja suljettu kuvaus saattavat määritelmiensä perusteella vaikuttaa luonnollisemmilta käsitteiltä kuin jatkuva kuvaus, jatkuvuus on topologiassa ja muillakin matematiikan aloilla paljon tärkeämpi käsite.

Avoimia kuvauksia tutki tiettävästi ensimmäisenä Simion Stoilow ja myöhemmin perusteellisemmin Gordon Thomas Whyburn.

Esimerkkejä

Jokainen homeomorfismi on sekä avoin että suljettu ja lisäksi jatkuva kuvaus. Itse asiassa bijektiivinen jatkuva kuvaus on homeomorfismi, jos ja vain jos se on avoin, ja niin ikään, jos ja vain jos se on suljettu.

Jos avaruudella Y on diskreetti topologia eli sen kaikki osajoukot ovat avoimia ja samalla suljettuja, jokainen kuvaus f : X → Y on sekä avoin että suljettu, olipa X mikä avaruus tahansa. Jokainen kuvaus tällaiseen avaruuteen ei kuitenkaan ole jatkuva. Esimerkiksi lattiafunktio reaalilukujen joukosta $\mathbb {R}$ kokonaislukujen joukkoon $\mathbb {Z}$ on avoin ja suljettu, mutta ei jatkuva kuvaus. Tämä esimerkki osoittaa, että yhtenäisen joukon kuva avoimessa tai suljetussa kuvauksessa ei aina ole yhtenäinen.

Jos muodostetaan topologisten avaruuksien X=ΠX_i karteesinen tulo ja varustetaan se tulotopologialla, luonnolliset projektiot p_i : X → X_i ovat avoimia ja samalla jatkuvia kuvauksia. Koska peitekuvaukset ovat lokaalisti tuloavaruuksien luonnollisia projektioita, ne ovat myös avoimia kuvauksia. Sen sijaan suljettuja projektiot eivät välttämättä ole. Esimerkkinä voidaan tarkastella projektiota p₁ : $\mathbb {R} ^{2}$ → $\mathbb {R}$ ensimmäistä komponenttia: A = {(x,1/x) : x≠0} on suljettu joukossa ${R}^{2}$, mutta p₁(A) = $\mathbb {R}$ − {0} joka ei ole suljettu. Jos kuitenkin Y on kompakti, projektio X × Y → X on suljettu. Tämä on oleellisesti sama asia kuin putkilemma.

Jokaiseen yksikköympyrän pisteeseen voidaan liittää positiivisen x-akselin sekä origosta kyseiseen pisteeseen johtavan janan välinen kulma. Tällä tavoin saadaan kuvaus yksikköympyrältä puoliavoimelle välille [0,2π). Kuvaus on bijektio ja sekä avoin että suljettu, mutta ei jatkuva. Tämä esimerkki osoittaa, että kompaktin avaruuden kuva avoimessa tai suljetussa kuvauksessa ei välttämättä ole kompakti. Jos kuitenkin tämän kuvauksen maaliksi käsitetään koko $\mathbb {R}$, kuvaus ei ole surjektio eikä myöskään avoin eikä suljettu. Oleellista avoinen ja suljetun kuvauksen käsitteille onkin, mikä avaruus katsotaan kuvauksen maaliavaruudeksi.

Reaalifunktio f: $\mathbb {R}$ → $\mathbb {R}$, missä f(x) = x², on jatkuva ja suljettu, mutta ei avoin kuvaus. Samoin on laita muidenkin funktioiden f, missä f(x) = xⁿ, kun n on parillinen. Sen sijaan kun n on pariton, kyseinen funktio on $\mathbb {R}$:n homeomorfismi itselleen ja näin ollen myös avoin kuvaus. Yleensäkään mikään jatkuva reaalifunktio, jolla on ääriarvoja, ei ole avoin kuvaus, eivät siis myöskään esimerkiksi sin x ja cos x.

Jokainen vakiokuvaus on suljettu kuvaus.

Ominaisuuksia

Kuvaus f : X → Y on avoin, jos ja vain jos jokaista pistettä $x\in X$ ja jokaista pisteen x ympäristöä U kohti (olipa se kuinka pieni tahansa) on olemassa sellainen f(x):n ympäristö V, että V ⊂ f(U).

Sen selvittämiseksi, onko annettu kuvaus avoin, riittää tutkia lähtöavaruuden X kantaan kuuluvien joukkojen kuvat. Toisin sanoen kuvaus f: X → Y on avoin, jos ja vain jos jokaisen topologian kantaan kuuluvan joukon kuva on avoin.

Avoimet ja suljetut kuvaukset voitaisiin yhtäpitävästi määritellä myös joukon sulkeuman ja sisustan käsitteiden avulla. Olkoon f: X → Y kuvaus. Silloin

• f on avoin, jos ja vain jos if f(A°) ⊆ f(A)° kaikilla A ⊆ X
• f on suljettu, jos ja vain jos f(A)⁻ ⊂ f(A⁻) kaikilla A ⊂ X.

Kahden avoimen kuvauksen yhdistetty kuvaus on avoin, ja kahden suljetun kuvauksen yhdistetty kuvaus on suljettu.

Bijektio on avoin kuvaus, jos ja vain jos se on suljettu. Jatkuvan bijektion käänteiskuvaus on avoin ja suljettu, ja kääntäen avoimen ja suljetun bijektion käänteiskuvaus on jatkuva.

Surjektio, joka on avoin kuvaus, ei välttämättä ole suljettu, eikä myöskään surjektio, joka on suljettu, ole välttämättä avoin.

Olkoon f : X → Y jatkuva kuvaus, joka on joko avoin tai suljettu. Silloin

• jos f on surjektio, se on tekijäkuvaus,
• jos f on injektio, se on samalla topologinen upotus, ja
• jos f on bijektio, se on homeomorfismi.

Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa se, että kuvaus on avoin tai suljettu, on vain riittävä ehto sille, että kuvaus on tekijäkuvaus tai upotus. Kolmassa tapauksessa se on samalla myös välttämätön ehto.

Avoimia ja suljettuja funktioita koskevia lauseita

Tunnetaan useita lauseita, joiden nojalla eräissä tapauksissa voidaan päätellä, että kuvaus on avoin tai suljettu. Seuraavassa esitetään joitakin sellaisia.

Suljetun kuvauksen lemma sanoo, että jokainen jatkuva kuvaus f : X → Y kompaktista avaruudesta x Hausdorff-avaruuteen Y on suljettu ja lisäksi ankara kuvaus, toisin sanoen siinä jokaisen kompaktin joukon alkukuva on kompakti. Eräs tämän tuloksen muunnelma sanoo, että jos kahden lokaalisti kompaktin Hausdorff-avaruuden välinen kuvaus on ankara, se on myös suljettu.

Funktionaalianalyysissä avoimen kuvauksen lause sanoo, että jokainen Banach-avaruuksien välinen surjektiivinen jatkuva lineaarioperaattori on avoin kuvaus.

Myös kompleksianalyysissä on tulos, joka tunnetaan nimellä avoimen joukon lause. Sen mukaan jokainen ei-vakio holomorfinen funktio, joka on määritelty kompleksitason jollakin yhtenäisellä avoimella osajoukolla, on avoin kuvaus.

Alueen invarianssilause sanoo, että jatkuva ja lokaalisti injektiivinen kuvaus kahden n-ulotteisen moniston välillä on avoin kuvaus.