Käänteisfunktio

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion $f$ käänteisfunktiota merkitään $f^{-1}$ . Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee $f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$ . Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita.^[1]

Määritelmä

Olkoon $f:A\to B$ funktio. $f\,$ :n kuvajoukko $f(A)\,$ on kaikkien niiden alkioiden $y\in B\,$ joukko, joille $y=f(x)\,$ jolloin $x\in A\,$ . Jos $f\,$ on injektio (ehdosta $f(x_{1})=f(x_{2})\,$ aina seuraa $x_{1}=x_{2}\,$ ) on mahdollista määritellä funktio $g:f(A)\to A$ asettamalla $g(y)\,$ :ksi se $x\in A$ , jolle $y=f(x)\,$ . Täten $g\,$ tulee toteuttamaan ehdon $g(f(x))=x\,$ kaikilla $x\in A$ ja $f(g(y))=y\,$ kaikilla $y\in f(A)$ .

Funktiota $g\,$ sanotaan funktion $f\,$ käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla $f^{-1}\,$ . Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Jos funktio $g\,$ on funktion $f\,$ käänteisfunktio, on samalla myös $f\,$ funktion $g\,$ käänteisfunktio.

Esimerkkejä

Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon f funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon M perheenjäsenien nimien joukko ja I perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen

M=\{Juhani,Anna,Siru,Pasi,Taru\}

I=\{37,32,10,8,5\}

f:M\rightarrow I

f(Juhani)=37,f(Anna)=32,f(Siru)=10,f(Pasi)=8,f(Taru)=5

Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on f:n käänteisfunktio:

f^{-1}:I\rightarrow M

f^{-1}(37)=Juhani,f^{-1}(32)=Anna,f^{-1}(10)=Siru,f^{-1}(8)=Pasi,f^{-1}(5)=Taru

f:n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi.

Reaalifunktiot

Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion $f\,$ käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla $x\,$ yhtälöstä $y=f(x)\,$ . Esimerkiksi funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $f(x)=2x+3\,$ käänteisfunktioksi saadaan näin $f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $f^{-1}(y)={\frac {1}{2}}(y-3)$ .

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla $f\,$ olisi käänteisfunktio, $f\,$ :n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $f(x)=x^{2}\,$ ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa) $f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$ , $f(x)=x^{2}\,$ , on käänteisfunktio $f^{-1}\,$ , $f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$ .

Esimerkkejä

Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion $y=x^{n}\,$ käänteisfunktio on juurifunktio $y={\sqrt[{n}]{x}}$ . Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteisfunktio koko reaalilukualueella. Vastaavasti juurifunktion käänteisfunktio on potenssifunktio.
Eksponenttifunktion $y=e^{x}\,$ käänteisfunktio on logaritmifunktio $y=\ln x\,$ .
Trigonometrisilla funktioilla koko reaalilukualueella määriteltyinä ei ole käänteisfunktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteisfunktiot, joita sanotaan arkusfunktioiksi.