Bijektio

Bijektio

Bijektio on funktio, jossa jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva.

Bijektio on siis yhtä aikaa sekä injektio että surjektio:

• Injektio: mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle.
• Surjektio: jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu jokin lähtöjoukon alkio.

Bijektiossa jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. Jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen.

Käänteisfunktio

Jos funktio f on bijektio

$f:X\to Y$,

voidaan sille määrittää käänteisfunktio

$f^{-1}:Y\to X$

jolloin käänteisen kuvauksen kaikki joukon $Y$ alkiot saavat arvon maalijoukossa $X$. Myös käänteisfunktio on bijektio.

Esimerkkejä

Funktio f: R → R, f (x)  = 2x + 1, on bijektio, koska jokaista reaalilukua y kohden voidaan ratkaista yhtälö y = 2x + 1 ja saadaan tasan yksi reaalinen vastaus x = (y − 1)/2.

Funktio g: R → R, g(x) = x², ei ole bijektio. Tämä funktio ei ole injektio, koska funktio saa saman arvon kahdella eri muuttujan arvolla: esimerkiksi g(1) = 1 = g(−1). Toisaalta funktio ei ole surjektio, koska havaitaan esimerkiksi, ettei ole reaalilukua x, jolle x² = −1. Kumpi tahansa näistä seikoista riittää osoittamaan, että funktio g ei ole bijektio. Jos kuitenkin muutetaan funktion g lähtö- ja maalijoukko siten, että pätee g: [0, ∞) → [0, ∞), funktio g on bijektio.

Katso myös

• Surjektio
• Injektio

Lähteet

• Finan, Dr. Marcel B.: The Concept of a Mapping (Arkistoitu – Internet Archive), Arkansas Tech University.

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0