Analyysi (matematiikka)

Analyysi on matematiikan osa-alue, joka käsittelee reaalilukuja ja kompleksilukuja ja niiden funktioita. Sen tavoitteena oli alun perin kehittää jatkuvuuteen liittyville käsitteille täsmälliset matemaattiset määritelmät. Siinä tutkitaan muun muassa jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

Historia

Analyysi sai alkunsa 1600-luvulla, Isaac Newtonin ja Gottfried Leibnizin toisistaan riippumattomista keksinnöistä. 1600- ja 1700-luvuilla analyysin aiheet kuten variaatiolaskenta, differentiaaliyhtälöt, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, Fourier'n analyysi ja generoivat funktiot kehitettiin enimmäkseen käytännön sovelluksia varten. Analyysin tekniikoita käytettiin menestyksekkäästi approksimoitaessa diskreettejä ongelmia jatkuvilla vastineillaan.

Koko 1700-luvun ajan funktion määritelmä oli väittelyn kohteena matemaatikkojen keskuudessa. 1800-luvulla Augustin Louis Cauchy oli ensimmäinen, joka antoi analyysille tarkan loogisen pohjan määrittelemällä Cauchy-jonon. Hän myös aloitti formaalin funktioteorian tutkimisen. Simeon Poisson, Joseph Liouville, Fourier ja muut tutkivat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ja harmonista analyysiä.

Vuosisadan puolivälissä Bernhard Riemann esitteli integroimisteoriansa. 1800-luvun viimeisellä kolmanneksella Karl Weierstrass aritmetisoi analyysin. Hän luuli, että geometrinen perustelu oli luonnostaan harhaanjohtava. Koska analyysissa aikaisemmin käytetyt, infinitesimaaleihin perustuneet määritelmät ja todistelut olivat alttiina loogisille vastaväitteille, hän esitti uuden määritelmän (ε-δ-määritelmän) raja-arvolle ja sen mukaisesti muillekin analyysin peruskäsitteille. Matemaatikot alkoivat kuitenkin huolestua siitä, että he olettivat reaalilukujen jatkumon olemassaolon ilman todistusta. Julius Wilhelm Richard Dedekind sittemmin konstruoi reaaliluvut Dedekindin leikkauksen avulla. Tuolloin yritykset parantaa Riemann-integroinnin teoreemoja johti reaalifunktioiden epäjatkuvuuspisteiden muodostaman joukon mahtavuuden tutkimiseen.

Myös "hirviöitä" (ei-missään jatkuvia funktioita, jatkuvia, mutta ei-missään derivoituvia funktioita, avaruuden täyttäviä käyriä) alettiin kehittää. Sen vuoksi Camille Jordan kehitti mittateoriansa, Georg Cantor kehitti naiivin joukko-opin, ja Baire todisti Bairen lauseen. 1900-luvun alussa analyysi formalisoitiin käyttämällä joukko-oppia. Henri Lebesgue kehitti mittateoriansa ja David Hilbert esitteli Hilbert-avaruuden, jonka avulla voitaisiin ratkaista integraaliyhtälöitä. Normitetun vektoriavaruuden ajatus oli jo olemassa, ja 1920-luvulla Stefan Banach loi funktionaalianalyysin.

Osa-alueet

Analyysi jakautuu nykyään seuraaviin osakohteisiin:

• Reaalianalyysi tutkii reaaliarvoisten funktioitten derivaattoja ja integraaleja. Tämä sisältää muun muassa raja-arvon, potenssisarjan ja mitan käsitteet.
• Funktionaalianalyysi tutkii funktioavaruuksia, tunnetuimpina esimerkkeinä Banach-avaruus ja Hilbert-avaruus.
• Harmoninen analyysi käsittelee Fourier-sarjoja ja niiden teorioita.
• Funktioteoria eli kompleksianalyysi tutkii funktioita kompleksitasolta kompleksitasolle, jotka ovat kompleksisesti derivoituvia.
• Epästandardi analyysi tutkii hyperreaalilukuja ja niiden funktioita ja antaa täsmällisen määritelmän infinitesimaaleille ja äärettömän suurille luvuille.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Analyysi (matematiikka) Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Matemaattisen analyysin perusteet, s. 1–191. (Opintomoniste 89) Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-771-9