Bairen lause

Bairen lause on tärkeä työkalu yleisessä topologiassa ja funktionaalianalyysissä. Lause voidaan muotoilla kahdella tavalla, joista kumpikin antaa riittävän ehdon sille, että topologinen avaruus on Bairen avaruus.

Lause

• Ensimmäinen muotoilu: Jokainen täydellinen metrinen avaruus on Bairen avaruus. Yleisemmin jokainen topologinen avaruus, joka on homeomorfinen täydellisen pseudometrisen avaruuden avoimen joukon kanssa, on Bairen avaruus. Erityisesti jokainen topologisesti täydellinen avaruus on Bairen avaruus.
• Toinen muotoilu: Jokainen epätyhjä lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus on Bairen avaruus.

Huomaa, että kumpikaan Bairen lause ei seuraa toisesta, sillä on olemassa täydellinen metrinen avaruus, joka ei ole lokaalisti kompakti (irrationaalilukujen Bairen avaruus) ja toisaalta on olemassa lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus joka ei ole metristyvä (ylinumeroituva Fortin avaruus). Tällainen avaruus esitellään kirjassa Steen ja Seebach: Counterexamples in Topology.

Suhde valinta-aksioomaan

Kummankin Bairen lausen todistus vaatii valinta-aksiooman käyttöä. Itse asiassa väite, että jokainen täydellinen pseudometrinen avaruus on Bairen avaruus on ekvivalentti valinta-aksiooman heikomman muodon, riippuvan valinta-aksiooman, kanssa. [1].

Lauseen käyttöä

Baire1:stä käytetään todistamaan avoin kuvauslause, suljettu kuvaajalause ja uniformi rajoittamattomuusperiaate

Baire1 osoittaa myös, että jokainen täydellinen metrinen avaruus, jossa ei ole erakkopisteitä, on ylinumeroituva. (Jos X on numeroituva täydellinen metrinen avaruus, jossa ei ole erakkopisteitä, on jokainen yksiö {x} X:ssä ei-missään tiheä, joten X kuuluu ensimmäiseen kategoriaan. Tämä osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.

Baire1 osoittaa, että kukin seuraavista avaruuksista on Bairen avaruus:

• Reaaliluvut R
• Cantorin joukko
• monistot
• Jokainen Bairen avaruuden kanssa homeomorfinen avaruus.

Baire1:stä seuraa monia tuloksia, joita on lueteltu ranskaksi ja englanniksi osoitteessa Bwatabaire (Arkistoitu – Internet Archive).

Lähteet

• Schechter, Eric: Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-12-622760-8
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. jr: Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
• Baire1:n todistus^{[vanhentunut linkki]}