Mittateoria

Mittateoria on matematiikan ala, joka tutkii sigma-algebroja, mittoja, ulkomittoja, mitallisia funktioita ja integraaleja. Mittateoriaa käytetään erityisen paljon analyysissä ja todennäköisyyslaskennassa.

Historiaa

Mittateoria on alun perin kehittynyt ongelmasta määritellä vaikeille joukoille 'koko', jota voisi intuitiivisesti ajatella esimerkiksi pinta-alana/tilavuutena. Mittateoreettisia ajatuksia esiintyi jo antiikin Kreikassa, kun Arkhimedes halusi määrittää tarkkaa arvoa ympyrän pinta-alalle. Hän itse asiassa kehitti alkeellista integrointia muistuttavan ekshaustiomenetelmän. Kuitenkin itse ala on 1900-luvun keksintö. Mittateorian pioneereihin kuuluu muun muassa Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory ja Alfréd Haar. Henri Lebesgue kehitti muun muassa vallankumouksellisen Lebesguen mitan ja -integraalin, joiden historiasta on enemmän artikkelissa Henri Lebesgue. Georg Cantor ja Émile Borel määrittelivät myöhemmin mitalliset joukot ja Borel-joukot. Constantin Carathéodory kehitti mittateorian yleistä teoriaa määrittelemällä muun muassa ulkomitan ja yleisen mitan. Alfred Haar tunnetaan Haarin mitasta, jonka avulla voidaan määritellä eräänlainen intuitiivisesti pinta-alan/tilavuuden kaltainen käsite lokaalikompakteihin topologisiin ryhmiin.

Osoittautuikin, että mittateorian määritelmät sopivat hyvin vastaamaan monimutkaisten ja patologisten joukkojen geometriaan. Sillä pystyttiin määrittelemään joukoille muun muassa dimensio, joka kertoo enemmän joukon hienorakenteesta kuin esimerkiksi perinteinen topologinen dimensio. Tästä enemmän artikkelissa Hausdorffin dimensio. Itse asiassa vuonna 1919 A.S. Besicovitš kehitti geometrisen mittateorian vastaamaan joukkojen ja mittojen geometrisiin kysymyksiin.

Mittateoriasta on ollut sovelluksissa paljon hyötyä. Mittateorian synty mullisti muun muassa todennäköisyyslaskennan. Andrei Kolmogorov kehitti todennäköisyyslaskennalle mittateoreettiset aksioomat ja määritteli todennäköisyyden mittana ja tapahtumat sigma-algebrana. Nykyään todennäköisyyslaskennan mittateoreettista tutkimusta kutsutaan todennäköisyysteoriaksi.

Käsitteitä

• Sigma-algebra
• Mitta
• Ulkomitta
• Mittaintegraali
• Mitallisuus
• Merkkinen mitta
• Borelin joukot
• Carathéodoryn konstruktio
• Borel-mitat
• Radon-mitat
• Lebesguen mitta
• Hausdorffin mitta
• Hausdorffin dimensio
• Jordanin mitta
• Diracin mitta
• Massadistribuutio
• Lebesgue–Stieltjes-integraali
• Riemannin integraali
• Epäoleellinen integraali
• Todennäköisyysteoria
• Todennäköisyyden aksioomat

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0

Aiheesta muualla

• MathWorld. Measure
• MathWorld. Almost Everywhere
• MathWorld. Integral
• MathWorld. Hölder's Inequalities
• ([https://web.archive.org/web/20150923184810/http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=lebesgue Arkistoitu – Internet Archive) Henri Léon Lebesgue (28 juin 1875 [Rennes] – 26 juillet 1941 [Paris])] (ranskaksi)