Todennäköisyys

Todennäköisyys on ilmiön tapahtumisen yleisyyden mitta, jonka arvo voidaan ilmaista kvalitatiivisesti tai kvantitatiivisesti. Todennäköisyys kvantifioidaan reaaliluvuksi väliltä 0 ja 1, vaikka joskus todennäköisyys ilmaistaan myös prosentteina. Todennäköisyys on 0 (0 %), kun tapahtuma ei satu koskaan, ja 1 (100 %), kun se tapahtuu aina. Mikäli todennäköisyys on näiden arvojen väliltä, sen tapahtuminen on epävarmaa. Mitä suurempi on todennäköisyyden arvo, sen varmemmin se tapahtuu. Jos tapahtuminen ja ei-tapahtuminen ovat yhtä varmoja, niin tapahtumisen todennäköisyys on 0,5 eli 50 %. 0,9 puolestaan tarkoittaa, että se tapahtuu keskimäärin yhdeksän kertaa kymmenestä. Esimerkiksi todennäköisyys saada klaava heittämällä yhtä kolikkoa yhden kerran on 0,5.

Todennäköisyyden yksikäsitteisestä määritelmästä on ollut vaikeaa päästä yksimielisyyteen. Koska todennäköisyys on ihmisen luoma omakohtainen käsite, ei sille löydy luonnontieteellistä tai filosofista perustetta. Todennäköisyyden tulisi kuitenkin vastata arjen kokemusta tapahtuman yleisyydestä. Ensimmäinen käytetty eksakti määritelmä on klassinen todennäköisyyden määritelmä, jolla voitiin arvioida uhkapelien todennäköisyyksiä riittävän hyvin. Määritelmä oli kuitenkin liian yksinkertainen arjen muiden tapahtumien kuvaamiseen, sillä se oletti alkeistapauksien todennäköisyyksien olevan yhtä suuret. Puutetta korjaamaan esitettiin tilastollinen todennäköisyystulkinta, joka oli käyttökelpoisempi tilastollisten tapahtumien todennäköisyyden määrittämisessä. Se myös salli alkeistapauksille erisuuruiset todennäköisyydet ja oli siten klassisen määritelmän laajennus. Tämän rinnalla esitettiin myös toinen todennäköisyyden määritelmä. Subjektiivisessa eli bayesiläisessä todennäköisyyden määrittelyssä voidaan todennäköisyyden ajatella kuvaavan tiedon epävarmuutta.

Näitä kaikkia vaivasivat puutteet, jotka jättivät todennäköisyyden perimmäisen määritelmän auki eivätkä ne kyenneet kertomaan, mitä todennäköisyys viime kädessä on. Lopulta neuvostoliittolainen Andrei Kolmogorov vuonna 1933 ilmestyneessä teoksessaan Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (suom. Todennäköisyysteorian perusteet) kiteytti todennäköisyyslaskennan perusteet matemaattisen tarkasti. Kolmogorovin luomassa aksiomaattisessa järjestelmässä yhdistettiin joukko-oppi, todennäköisyyslaskenta ja mittateoria. Edelleenkään todennäköisyydelle ei annettu ”perimmäistä selitystä”, mutta nyt sen matemaattiset ongelmat saatiin ratkaistua. Nykyaikainen todennäköisyyslaskenta perustuu Kolmogorovin luomalle perustalle. Matemaattisempi ja kattavampi todennäköisyyslaskennan käsittely löytyy artikkelista todennäköisyysteoria.

Todennäköisyyslaskentaa hyödynnetään monilla tieteenaloilla, kuten esimerkiksi matematiikassa, luonnontieteissä, tietotekniikassa, tilastotieteessä ja filosofiassa. Sitä tarvitaan myös monessa muussa toiminnassa, esimerkiksi talouselämässä ja uhkapeleissä.

Matemaattiset reunaehdot

Satunnaisilmiön perimmäisiä rakenteita tai toimintoja ei tarvitse tuntea, vaan todennäköisyyslaskennassa kiinnitetään huomiota vain sen tuottamiin tuloksiin. Satunnaisilmiön sattumanvaraisesti syntyviä tai vaihtuvia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi tai satunnaismuuttujien arvoiksi. Kaikki alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvot tulee tuntea ja näiden arvojen esiintymisen yleisyys tulee voida mitata ja sitten esittää niiden todennäköisyys lukuarvoina. Vasta tämän jälkeen voidaan suorittaa todennäköisyyteen perustuvia arvioita satunnaisilmiön toiminnasta. Tapahtuman $A$ todennäköisyyttä merkitään usein $\mathbb {P} (A)$, $P(A)$, $p(A)$ tai $Pr(A)$.

Kaikkien alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelmaa kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi tai tapahtuma-avaruudeksi. Perusjoukko sisältää kaikki ne alkeistapaukset tai satunnaismuuttujan arvot, joita voi sattua, eikä muita tapauksia tai arvoja tule esiintymään. Tähän varmuuteen perustuvat todennäköisyyslaskennan reunaehdot. Tapahtuma on sellaisten perusjoukon alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelma, joka muodostaa osan perusjoukosta. Tapahtuma on siten perusjoukon osajoukko, ja ne tapaukset, jotka eivät kuulu tapahtumaan, ovat osa vastatapahtumaa eli komplementtitapahtumaa, joka on myös perusjoukon osajoukko. Tapahtuman $A$ ja vastatapahtuman $A^{c}$ osajoukot sisältävät eri tapaukset ja toisaalta yhdessä ne muodostavat koko perusjoukon eli $A\cup A^{c}=\Omega$. Terveen järjen mukaisesti tulee olla niin, että jos tapahtuman todennäköisyys on $P(A)$ ja vastatapahtuman todennäköisyys on $P(A^{c})$, tulee näiden summaksi $P(A)+P(A^{c})=1$. Tapaus kuuluu siten tarkasteltavaan tapahtumaan tai sen vastatapahtumaan.

Edellä selostettu ominaisuus, jossa tapahtuma ja sen vastatapahtuma sisältävät eri alkeistapaukset, on nimeltään toistensa poissulkevuus tai erillisyys. Yleisesti sanotaan, että saman perusjoukon kaksi tapahtumaa $A$ ja $B$ ovat erillisiä tapahtumia, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta. Jos nämä tapahtumat yhdistetään suuremmaksi joukoksi, tulisi niiden yhdistelmä olla edellisiä yleisempi. Yleensä vaaditaankin erillisissä tapahtumissa, että todennäköisyydet on voitava laskea suoraan yhteen. Tätä kutsutaan todennäköisyyden additiiviseksi ominaisuudeksi. Sen avulla voidaan perustella myös tapahtuman ja sen vastatapahtuman tulos 1.

Matemaattisesti on huomattu välttämättömäksi olettaa todennäköisyyden jatkuvuus. Se on vaikein ”terveen järjen vaatimuksista” ymmärtää, mutta se onkin matemaatikkojen asettama lisävaatimus. Tarkastellaan kahta tapahtumaa, josta $A$ on tapahtuman $B$ osajoukko. Tapahtuma $A$ sisältää kaikki alkeistapaukset, jotka ovat myös tapahtumassa $B$. Tapahtumassa $B$ on näiden tapauksien lisäksi vielä muitakin eli tapahtuma $B$ on suurempi tapahtuma kuin $A$. Joukko-opillisesti tämä merkitään $A\subset B$. Arkipäivän järjen mukaan tapahtuman $B$ todennäköisyys tulisi olla suurempi kuin tapahtuman $B$ eli $P(A)\leq P(B)$. Todennäköisyyden jatkuvuus tarkoittaa sitä, että kaikille tapahtumille, jotka jotka ovat toistensa osajoukkoja seuraavasti

$A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots$

tulisi todennäköisyyksien kasvaa

$P(A_{1})\leq P(A_{2})\leq P(A_{3})\leq \ldots$

Vaikka tapahtumajoukkoa laajennettaisiin loputtomasti, tulisi sen laajinta yhdistettä kutsua myös tapahtumaksi ja sille tulisi voida laskea todennäköisyyden arvo. Siis

$A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots =\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\lim _{i\to \infty }A_{i},$

jonka todennäköisyys on

$P\left(\lim _{i\to \infty }A_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }P(A_{i}).$

Samaa ominaisuutta on vaadittu myös osajoukoille, jossa tapahtumien sisältämiä tapauksia karsitaan

$A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \ldots =\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=\lim _{i\to \infty }A_{i},$

jolloin todennäköisyydet pienenevät ja lopullinen todennäköisyys olisi

$P\left(\lim _{i\to \infty }A_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }P(A_{i}).$

Näillä ajatuksilla voidaan perustella suurten lukujen lait, jotka vaadittiin tilastollisessa todennäköisyyden tulkinnassa.

Edellä esitellyt todennäköisyyksien ominaisuudet ovat kuitenkin niin väljät, etteivät niillä voida määritä todennäköisyysmittaa tiukasti. Todennäköisyyden määrittelyyn jää runsaasti valinnanvaraa ja sille onkin käytössä erilaisia määritelmiä. Niiden matematiikka kuitenkin seuraa edellisiä yleisiä reunaehtoja.

Todennäköisyyslaskennan perusperiaatteita

Todennäköisyyslaskennassa tapahtuman $A$ todennäköisyys on jokin reaaliluku 0:n ja 1:n väliltä eli

$0\leq P(A)\leq 1.$

Tapahtuman $A$ vastatapahtuman eli komplementtitapahtuman $A^{c}$ todennäköisyys on

$P(A^{c})=1-P(A),$

koska tapahtumalle ja vastatapahtumalle tulee päteä $P(A)+P(A^{c})=1$. Esimerkiksi todennäköisyys sille, ettei yhden nopan heitossa saada kuutosta, on ”1 − todennäköisyys saada kuutonen” eli ${1}-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}$.

Jos kaksi tapahtumaa $A$ ja $B$ ovat erillisiä tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että joko tapahtuma $A$ tai tapahtuma $B$ sattuu (myös molemmat voivat sattua) on

$P(A{\mbox{ tai }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

Esimerkiksi todennäköisyys heittää yhdellä nopalla silmäluvun yksi tai kaksi on $P(1{\mbox{ tai }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}$.

Jos tapahtumat eivät ole erillisiä, niin silloin tapahtumista jätetään yhteiset tapaukset kerran pois ja todennäköisyyden arvosta ne vähennetään kerran pois:

$\mathrm {P} \left(A{\hbox{ tai }}B\right)=\mathrm {P} \left(A\right)+\mathrm {P} \left(B\right)-\mathrm {P} \left(A{\mbox{ ja }}B\right)$.

Jos kaksi tapahtumaa $A$ ja $B$ ovat riippumattomia tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että sekä tapahtuma $A$ että tapahtuma $B$ sattuvat on

$P(A{\mbox{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).\,$

Esimerkiksi, jos kahta kolikkoa heitetään, niin todennäköisyys sille, että molemmat ovat kruunia, on ${\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}$.

Jos tapahtumat eivät ole riippumattomia, saadaan todennäköisyys

$P(A{\mbox{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B|A).\,$

missä merkintä $P(B|A)$ tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä.

Tapahtuman $B$ ehdollinen todennäköisyys, on todennäköisyys tapahtumalle $B$ sillä ehdolla, että tapahtuma $A$ tapahtuu varmasti. Ehdollinen todennäköisyys merkitään $P(B|A)$, joka luetaan: ”tapahtuman $B$ todennäköisyys ehdolla $A$” ja se määritellään

$P(B\mid A)={\frac {P(B\cap A)}{P(A)}}.\,$

Jos tapahtuman $A$ todennäköisyys on 0, eli $P(A)=0$, niin $P(B\mid A)$ ei ole määritelty, sillä nollalla ei saa jakaa.

Lisää todennäköisyyslaskennasta on artikkelissa todennäköisyysteoria.

Katso myös

• Satunnaisilmiö
• Alkeistapaus
• Tapahtuma
• Perusjoukko
• Satunnaismuuttuja
• Todennäköisyysfunktio
• Todennäköisyysjakauma

Kirjallisuutta

• Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (1996).
• Elfving, Gustav & Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta II. Limes ry (1990).
• Laininen, Pertti: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen. (5. korjattu painos) Helsinki: Otatieto, 2001 (7. painos 2004). ISBN 951-672-312-8

Aiheesta muualla

• MathWorld. Probability
• MathWorld. Probability Measure
• MathWorld. Probability Function (Arkistoitu – Internet Archive)
• MathWorld. Conditional Probability
• MathWorld. Bayes' Theorem