Nollalla jakaminen

Nollalla jakaminen tarkoittaa jakolaskua, jossa jakaja on nolla. Muodollisesti tällaista jakolaskua merkitään ${\frac {a}{0}}$ . Tavallisessa aritmetiikassa ${\frac {a}{0}}$ ei ole määritelty.

Algebrallinen tulkinta

Jakolasku määritellään kertolaskun avulla: osamäärä ${\frac {a}{b}}$ tarkoittaa sitä lukua $c$ , jolla pätee $b\cdot c=a$ . Oletetaan nyt, että $a\neq 0$ . Jakolaskun määritelmän mukaan ${\frac {a}{0}}$ on se luku $c$ , jolla $0\cdot c=a$ . Kuitenkin $0\cdot c=0\neq a$ riippumatta luvusta $c$ . Siis ei ole olemassa lukua ${\frac {a}{0}}$ , eli nollalla ei voi jakaa nollasta eroavaa lukua $a$ .

Myöskään nollaa ei voi jakaa nollalla: mikä tahansa luku $c$ toteuttaa yhtälön $0\cdot c=0$ , joten ${\frac {0}{0}}=c$ voisi olla mikä reaaliluku hyvänsä.

Geometrisen summan avulla

Yksi tapa lähestyä nollalla jakamisen ongelmaa on geometrisen summan $1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}$ avulla. Tiedetään että summan suppenemissäde on $|x|<1$ .

Kun sijoitetaan summaan arvo $x=1$ , saadaan ${\frac {1}{1-1}}=1+1^{2}+1^{3}+\cdots$ . Koska summa $1+1+1+\cdots$ kasvaa rajatta, suureella ${\frac {1}{0}}$ ei ole mielekästä arvoa.

Raja-arvot ja nollalla jakaminen

Nollalla jakamista voi tarkastella myös raja-arvojen avulla. Kun $x$ lähestyy nollaa oikealta puolelta, kasvaa osamäärä $1/x$ rajoittamattomasti. Kun $x$ lähestyy nollaa vasemmalta puolelta, osamäärä $1/x$ vähenee rajatta. Jos siis haluttaisiin määritellä nollalla jakaminen lausekkeen $1/x$ raja-arvona, tulisi osamäärän $1/0$ olla yhtä aikaa sekä äärettömän suuri että äärettömän pieni. Tämä on mahdotonta, joten nollalla jakamista ei voi määritellä tälläkään tavalla.

Nollalla jakamisen seuraukset

Jos sallitaan nollalla jakaminen ja oletetaan, että $0/0=1$ , voidaan todistaa, että esimerkiksi 2 = 1.

Nollan ominaisuuksista johtuen tiedetään että $2\cdot 0=0$ ja $1\cdot 0=0$ . Näin siis on $2\cdot 0=1\cdot 0$ . Jakamalla yhtälö puolittain nollalla saadaan $2\cdot {\frac {0}{0}}=1\cdot {\frac {0}{0}}$ . Siispä $2=1$ .

Jakamalla nollalla on päädytty selvästi ristiriitaiseen johtopäätökseen. Siis nollalla ei voi jakaa.

Laajennettu reaaliakseli

Reaaliakseli $\mathbb {R}$ voidaan laajentaa sisältämään alkiot $-\infty$ ja $\infty$ , jotka sopivasti tulkittuna antavat järkevän määritelmän nollalla jakamiselle.^[1] Joissain matematiikan aloissa, kuten mittateoriassa, tämä on luontevaa sillä usein eteen tulee funktioita, joille esimerkiksi ääretönarvoisuus olisi selkempää määritellä kuin jättää raja-arvojen varaan.

Määrittelemme, että laajennettu reaaliakseli on joukko ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{\infty \}$ , missä $-\infty$ ja $\infty$ ovat alkioita, joille pätee seuraavat ominaisuudet:

$-\infty <a<\infty$ kaikilla $a\in \mathbb {R}$

$-(\infty )=-\infty$ ja $-(-\infty )=\infty$

$\infty +\infty =\infty$ ja $\infty \cdot \infty =\infty$

$a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty$ kaikilla $a>0$

$a(-\infty )=(-\infty )a=-\infty$ kaikilla $a>0$

$a\cdot \infty =\infty \cdot a=-\infty$ kaikilla $a<0$

$a(-\infty )=(-\infty )a=\infty$ kaikilla $a<0$

$a+\infty =\infty +a=\infty$ kaikilla $a\in \mathbb {R}$

$\infty -a=\infty$ kaikilla $a\in \mathbb {R}$

$a-\infty =-\infty$ kaikilla $a\in \mathbb {R}$

${\frac {a}{\infty }}=0$ kaikilla $a\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace$

${\frac {a}{0}}=\infty$ kaikilla $a>0\rbrace$

${\frac {a}{0}}=-\infty$ kaikilla $a<0\rbrace$ .

Tapauskohtaisesti myös määritellään

$0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0$ ja $0\cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot 0=0$ .

Merkinnät

${\frac {\infty }{\infty }}$ ,

${\frac {\infty }{0}}$ ,

${\frac {0}{\infty }}$ ,

$\infty -\infty$ ja

${\frac {0}{0}}$

eivät ole määritelty joukossa ${\bar {\mathbb {R} }}$ .