Klassinen todennäköisyyden määritelmä

Klassinen todennäköisyyden määritelmä eli klassinen tulkinta todennäköisyydestä on Jacob Bernoullin ja Pierre-Simon Laplace yhteisesti kehittelemä ajatus satunnaisuuden määrän laskemisesta. Määritelmä kuuluu, niin kuin Laplace esitti sen vuonna 1812 artikkelissaan Théorie analytique des probabilités, vapaasti suomennettuna:

"Tapahtuman todennäköisyys on tapahtumaan liittyvien suotuisien tapauksien lukumäärän suhde kaikkien mahdollisten tapauksien lukumäärään, kunhan voidaan olettaa, ettei mikään tapaus ole yleisempi kuin toinen, eli että kaikki tapaukset ovat yhtä yleisiä."

Nykyään kutsutaan määritelmässä mainittuja tapauksia alkeistapauksiksi (joskus vain tapauksiksi), koska ne ovat nimeen omaan satunnaistapahtuman "alkeellisimmat tapaukset". Alkeistapauksista voidaan yhdistellä tapahtumia. Sanotaan, että alkeistapaukset ovat symmetrisiä keskenään, jos ne ovat yhtä yleisiä. Todennäköisyys tapahtumalle on yhdistelmän alkeistapauksien lukumäärän suhde kaikkien alkeistapauksien lukumäärään. Kaikkien alkeistapauksien yhdistelmää kutsutaan perusjoukoksi.

Esimerkki

Koska todennäköisyyden ajatus on peräisin uhkapeleistä, käytetään ensimmäisessä esimerkissä nopanheittoa. Nopan ainoat mahdolliset tulokset ovat sen silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Nämä tulokset toteuttavat symmetrian periaatteen eli ovat yhtä yleisiä, joten ne ovat nopanheiton alkeistapauksia. Koska muita tuloksia ei voida saada, muodostavat nämä alkeistapaukset perusjoukon, jota merkitään

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.$

Perusjoukossa on alkioita $|\Omega |=6.$ Tarkastellaan tapahtumaa

$A=$ "tulee korkeintaan nelonen" $=\{1,2,3,4\},$

jossa on alkioita $|A|=4.$ Nyt todennäköisyys saada nopanheitossa seuraavalla heitolla korkeintaan nelonen on:

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}\approx 0{,}67.$

Klassisessa todennäköisyyslaskennassa käsiteltiin alussa vain laskettavien alkeistapauksien muodostamia tapahtumia. Monet laskutavoista hyödynsivät kombinatorisia menetelmiä.

Formaalinen määritelmä

Formaalinen määritelmä tukeutuu joukko-opin alkeisiin. Olkoon satunnaisesti vaihtuvan tilanteen tuloksien perusjoukko $\Omega$ ja sen alkioiden lukumäärä $|\Omega |$. Merkitään tapahtumaa, joka on yhdistelmä suotuisia eli tapahtuvaksi haluttuja alkeistapauksia, kirjaimella $A$ ja siihen kuuluvien alkioiden lukumäärää $|A|.$ Silloin tapahtuman $A$ todennäköisyys on

$P(A)={\frac {\text{suotuisien alkeistapauksien lukumäärä}}{\text{perusjoukon alkeistapauksien lukumäärä}}}={\frac {|A|}{|\Omega |}}.$

Kritiikki

Klassisen todennäköisyyden määritelmää kritisoitiin 1800-luvulla useiden henkilöiden, muun muassa John Vennin ja George Boolen, taholta. Heidän kritiikkinsä osoittamia epäkohtia korjattiin ja syntyi niin sanottu tilastollinen todennäköisyyslaskenta. Klasisesta todennäköisyysajattelusta johdettu Bayesiläinen todennäköisyyslaskennan suosio on vaihdellut vuosikymmenien saatossa, mutta matematiikassa sen merkitys väheni yleisempien todennäköisyysteorioiden kehittyessä. Klassisen todennäköisyysajattelun suurin merkitys on toimia pohjana todennäköisyyslaskennan alkeiden ymmärtämisessä, missä tarkoituksessa se palvelee lukio-opetuksessa esimerkiksi Suomessa.

Esimerkkejä kritiikistä

• Eräitä määritelmiä voi pitää kehäpäätelminä. Esimerkiksi jos laskettaessa "tasapainoisen kolikon" heittojen todennäköisyyksiä kolikon "tasapainoisuus" määritellään todennäköisyyden kautta.
• Klassisessa todennäköisyyslaskennassa alkeistapausten todennäköisyys oletetaan yhtä suuriksi eli keskenään symmetrisiksi. Tällainen on tilanne vain peliteoriassa, kuten esimerkiksi pelikorteilla, nopilla ja kolikoilla pelattaessa.
• Sen avulla ei voi laskea todennäköisyyksiä tilanteissa, jossa tapauksien todennäköisyydet eivät ole symmetrisiä. Esimerkiksi vakuutusmatematiikassa vakuutuksen kannattavuus jää vakuutuksenantajan kokemuksen varaan.
• Symmetrian periaatetta on helppo perustella ainaostaan aivan yksinkertaisissa tapauksissa. Vaikeammissa tilanteissa voidaan joutua keinotekoisiin tilanteisiin. Heitettävät kolikot eivät ole täysin symmetrisiä, joten voidaanko kummallekin puolelle liittää sama todennäköisyys? Voidaanko aina liittää symmetriset todennäköisyydet reaalimaailman tapauksille?

Vaikka määritelmässä on selviä puutteita, luotetaan sen ilmaisemaan maailmankuvaan suuresti. Kasinoilla, joissa seurataan poikkeuksellisen onnekasta pelaajaa, epäillään symmetrian periaatteita rikotun ja pelaajan huijaavan jollakin tavalla. Jopa klassisen todennäköisyyslaskennan kriitikko voi olla halukas ratkaisemaan kiistansa toisen kanssa heittämällä kolikkoa. Tämän hän perustelee oletuksella todellisen kolikon korkeintaan hyvin pienellä erolla ideaaliseen. Matematiikassa osa todennäköisyyslaskennan tuloksista perustuu itse asiassa symmetrian periaatteilla johdettuihin tuloksiin, joita on sittemmin yleistetty toimimaan muissakin tapauksissa.

Muita todennäköisyyden tulkintoja

Klassisen todennäköisyyslaskennan kritiikkiin vastanneet kehittivät muita todennäköisyyden tulkintoja. Tällaisia ovat muun muassa Geometrinen todennäköisyys, tilastollinen todennäköisyys ja Bayesilainen todennäköisyys. Myös näissä todennäköisyyden määritelmissä on omat heikkoutensa.