Vastatapahtuma

Vastatapahtuma eli komplementtitapahtuma (engl. complementary event) tai joskus vain vastatapaus on yksi toden­näköisyys­laskennassa perus­käsitteistä. Annetun ­tapahtuman vasta­tapahtumalla tarkoitetaan tilannetta, jossa kyseinen tapahtuma ei toteudu. Jos jonkin tapahtuma todennäköisyys on A, sen vasta­tapahtuman toden­näköisyys on 1 – A.

Joukko-opillinen määritelmä

Jokainen kysymykseen tuleva tapahtuma, jolle toden­näköisyys voidaan määrittää, koostuu tietystä joukosta satunnaisilmiön alkeis­tapauksia, ja vastatapahtuma muodostuu satunnaisilmiön perusjoukon kaikista muista alkeistapauksista. Tapahtuman $A$ vastatapahtumaa merkitään yleensä ${\bar {A}}$ , $A'$, $A^{c}$ tai $C^{A}$ .

Vastatapahtuma voidaan merkitä joukko-opin käsittein ${\bar {A}}=\Omega \setminus A.$ Määritelmä tekee tapahtumasta ja vastatapahtumasta erilliset tapahtumat.

Esimerkkejä

Tapahtuman alkeistapauksia voidaan kohdella joukon alkioina. Joukot, jotka jakavat perusjoukon kahteen osaan, ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon $A$komplementtijoukko $A^{c}$ määritellään $A^{c}:=\{\omega \in \Omega ;\omega \notin A\}.$ Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: $\Omega ^{c}=\emptyset$ ja vastaavasti $\emptyset ^{c}=\Omega .$ Nopanheitossa tapahtuman "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli $\{1,2,3\}.$ Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: $\{1,2,3\}\cup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$ luonnollisella tavalla.

Komplementtisääntö

Todennäköisyys, että alkeistapaus $\omega$ kuuluu perusjoukkoon $\Omega$ on yksi. Samasta syystä voidaan sanoa, että alkeistapaus kuuluu varmuudella aina tapahtumaan tai vastatapahtumaan, sillä perusjoukko muodostuu niistä. Silloin on

$P(A{\text{ tai }}{\bar {A}})=P(A\cup {\bar {A}})=P(A)+P({\bar {A}})=1.$

Silloin vastatapahtuman ${\bar {A}}$ todennäköisyys on

$P({\bar {A}})=1-P(A).$ (komplementtisääntö)