Reaalinen projektiivinen taso

Reaalinen projektiivinen taso on eräs ei-orientoituva pinta eli kaksi­ulotteinen monisto, jolla on keskeinen merkitys varsinkin projektiivisessa geometriassa, mutta myös muilla matematiikan aloilla. Tällaista pintaa ei voi tehdä tavallisessa kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ellei sen sallita leikkaavan itseään. Sillä on kuitenkin keskeisiä sovelluksia geometriassa, sillä eräs tapa konstruoida reaalinen projektiivinen taso on määritellä se $\mathbb {R}$:n origon kautta kulkevien suorien joukkona.

Eri tapoja reaalisen projektiivisen tason konstruoimiseksi

Reaalinen projektiivinen taso voidaan määritellä tai konstruoida useilla eri tavoilla, mutta kaikissa tapauksissa sille voidaan määritellä yhtäläinen geometrinen tai topologinen struktuuri.

Reaalista projektiivista tasoa ei kuitenkaan voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen $\mathbb {R} ^{3}$, minkä vuoksi sen kaltaista pintaa ei voida tehdä konkreettisesti esimerkiksi paperista taivuttamalla, leikkaamalla ja liimaamalla. Yleistetyn Jordanin käyrälauseen mukaan nimittäin jokainen $\mathbb {R} ^{3}$:n umpinainen pinta jakaa avaruuden kahteen osaan, sisä- ja ulko­puoleen, mutta ei-orientoituvana, yksi­puolisena pintana reaalinen projektiivinen taso ei tällä tavoin jaa avaruutta. Näin ollen jokainen jatkuva kuvaus reaaliselta projektiiviselta tasolta avaruuteen $\mathbb {R} ^{3}$ "leikkaa itsensä", toisin sanoen projektiivisella tasolla on toisistaan erillisiä pisteitä, joita tässä kuvauksessa kuitenkin vastaa sama piste.

Laajennettu euklidinen taso

Alun perin reaalinen projektiivinen taso on muodostettu lisäämällä tavalliseen euklidiseen tasoon joukko "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat toisensa. Jokaista keskenään yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti tasoon lisätään yksi tällainen "äärettömän kaukainen" eli ideaalipiste, jossa suorien ajatellaan kohtaavan. Toisaalta kunkin suoran ajatellaan johtavan kummassakin suunnassa samaan ideaalipisteeseen, minkä vuoksi niitä lisätään kutakin yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti vain yksi, ei kaksi. Jos suoraa pitkin kuvitellaan kuljettavan ideaali­pisteeseen saakka ja jatketaan sieltä edelleen eteen­päin, päädytään lopulta vastakkaisesta suunnasta takaisin lähtö­pisteeseen.

Tämän konstruktion vuoksi reaalista projektiivista tasoa sanotaan usein myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi. Sitä ei kuitenkaan pidä sekoittaa funktioteoriassa paljon käytettyyn laajennettuun kompleksi­tasoon, josta se eroaa oleellisesti monessa suhteessa. Laajennetussa kompleksi­tasossa on normaaliin tasoon lisätty vain yksi piste, reaalisessa projektiivisessa tasossa sen sijaan äärettömän monta. Reaalinen projektiivinen taso ei myöskään ole homeo­morfinen pallopinnan kanssa, laajennettu kompleksi­taso sen sijaan on.

Projektiivisen avaruuden Eulerin karakteristika on 1, minkä vuoksi myös sen demigenus (ei-orientoituva genus eli Eulerin genus) on 1.

Topologiset konstruktiot kiekon tai neliön avulla

Topologisesti avoin yksikkökiekko eli niiden tason pisteiden muodostama alue, joiden etäisyys origosta on annettua pituus­yksikköä pienempi, on homeo­morfinen koko tason kanssa. Napa­koordi­naatteja käyttäen taso voidaan kuvata avoimelle yksikkö­kiekolle esimerkiksi seuraavasti:

$f(r,\theta )=({\frac {r}{1+r}},\theta )$.

Tässä kuvauksessa tason jokaisen pisteen kuvapiste on origoon nähden samassa suunnassa kuin alku­peräinen piste, mutta kaikki pisteet kuvautuvat yksikköympyrän sisä­puolelle. Mikään tason piste ei kuvaudu ympyrän kehälle, mutta mitä kauempana alku­peräinen piste on origosta, sitä lähemmäksi ympyrän kehää se kuvautuu.

Kun projektiivisen tason ideaali­pisteiden ajatellaan olevan "äärettömän kaukana", tässä konstruktiossa on luonnollista ajatella niiden kuvautuvan ympyrän kehälle. Kun kuitenkin jokainen suora johtaa kummassakin päässään samaan ideaali­pisteeseen, on ympyrän kehän vastakkaiset pisteet ajateltava samastetuiksi keskenään. Toisin sanoen on suljetun yksikkö­kiekon pisteiden joukossa on määriteltävä ekvivalenssirelaatio siten, että kiekon sisä­pisteet ovat ekvivalentteja vain itsensä kanssa, mutta kehän vastakkaiset pisteet myös toistensa kanssa. Tällöin reaalisen projektiviisen tason "pisteet" ovat itse asiassa tämän relaation ekvivalenssi­luokkia, joista kuhunkin kuuluu yksi tai kaksi alku­peräisen yksikkö­kiekon pistettä. Avaruuden topologia määritellään tämän ekvivalenssi­relaation mukaisena tekijätopologiana.

Neliö projektiivisen tason perusmonikulmiona

Yksireunainen Möbiuksen nauha voidaan ajatella suljettavan projektiiviseksi tasoksi liimaamalla vastakkaiset reunat yhteen.

Vertailukohteena Kleinin pullo, joka saadaan sulkemalla Möbiuksen nauha lierimäisesti.

Toisaalta koska suljettu yksikkö­kiekko on homeo­morfinen myös neliön $I^{2}=[0,1]\times [0,1]$ kanssa, voidaan reaalinen projektiivinen taso topo­logisesti muodostaa myös neliön avulla. Tämä voidaan suorittaa kahdessa vaiheessa: ensin samastetaan kukin y-akselilla oleva piste (0,y) neliön oikeassa reunassa olevan pisteen (1, 1-y) kanssa, jolloin saadaan Möbiuksen nauha. Tämän jälkeen samastetaan vielä x-akselilla olevat pisteet suoralla y=1 olevien pisteiden kanssa, mikä voidaan tehdä kahdella tavalla. Jos pisteet (x, 0) ja (x, 1) samastetaan keskenään, saadaan Kleinin pullo. Jos sen sijaan pisteet (x, 0 ja (1-x, 1) samastetaan keskenään, saadaan reaalinen projektiivinen tasoa.

Möbiuksen nauha voidaan tällä tavoin aivan konkreettisestikin toteuttaa, joskin käytännössä neliön sijasta on käytettävä pitkää ja kapeaa suorakulmiota. Jos tällaisen suora­kulmion muotoista nauhaa kierretään keskeltä puoli kierrosta ja liimataan sen jälkeen sen vastakkaiset päät yhteen, saadaan Möbiuksen nauha. Sitä vastoin sen enempää Kleinin pulloa kuin projektiivista tasoakaan ei voida vastaavalla tavalla konkreettisesti muodostaa.

Projektiivinen pallo

Reaalinen projektiivinen taso voidaan konstruoida myös käyttämällä lähtö­kohtana pallo­pintaa. Määritellään pallon isoympyrät "suoriksi" ja vastakkaisten eli antipodisten pisteiden parit "pisteiksi". On helppo osoittaa, että tällainen struktuuri toteuttaa kaikki yleisen projektiivisen tason määritelmän edellyttämät ehdot:

• mitkä tahansa kaksi isoympyrää leikkaa toisensa yhdessä kahden vastakkaisen pisteen parissa
• minkä tahansa kahden vastakkaisten pisteiden parin kautta kulkee yksi isoympyrä.

Tässä konstruktiossa siis jokainen pallopinnan piste samastetaan vastakkaisen eli antipodisen pisteensä kanssa. Täten saadaan reaalinen projektiivinen taso, jonka "pisteet" itse asiassa ovat kahden vastakkaisen pisteen muodostamia pareja. Toisin sanoen projektiivinen avaruus on tekijäavaruus, joka saadaan määrittelemällä pallo­pinnan pisteiden joukossa ekvivalenssirelaatio ~, jossa x ~ y, jos ja vain jos joko y = x tai y = −x.

Voidaan osoittaa, että näin muodostettu projektiivinen taso on homeo­morfinen edellä neliön avulla konstruoidun projektiivisen tason kanssa. Toisaalta tämä konstruktio osoitta selvemmin kuin edelliset, ettei "äärettömän kaukaisten" pisteiden muodostama "äärettömän kaukainen suora" ole topo­logisesti mitenkään erikois­asemassa reaalisen projektiivisen tason muihin suoriin nähden.

Jokaista pallopinnan vastakkaisten pisteiden paria vastaa yksikäsitteisesti yksi pallon keskipisteen kautta kulkeva suora ja kääntäen, nimittäin näiden pisteiden kautta kulkeva suora. Reaalinen projektiivinen onkin homeomorfinen myös sellaisen topologisen avaruuden kanssa, jonka "pisteet" ovat $\mathbb {R}$:ssa origon kautta kulkevia suoria.

Edellä muodostettu kuvaus pallopinnalta reaaliselle projek­tiiviselle tasolle on itse asiassa kaksi­lehtinen peitekuvaus. Tästä seuraa, että reaalisen projek­tiivisen tason perusryhmä on kerta­lukua 2 oleva syklinen ryhmä, siis kokonais­luvut modulo 2. Ryhmä voidaan generoida ylempänä olevassa kuvassa näkyvän silmukan AB avulla.

Havainnollistuksia

Boyn pinta – immersio

Vaikka reaalista projektiivista tasoa ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen, voidaan se kuitenkin immersioida. Immersio on jatkuva kuvaus, jossa lähtö­avaruuden, tässä tapauksessa projek­tiivisen tason, jokaisella pisteellä on ympäristö, johon rajoitettuna kuvaus on upotus. Boyn pinta on eräs sellainen immersio.

Jos Boyn pintaa kuvataan monitahokkaalla, siinä on aina vähintään yhdeksän sivu­tahkoa.

Roomalainen pinta

Roomalaisen pinnan animaatio

Jakob Steinerin roomalainen pinta on eräs projektiivisen tason havainnollistus kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Siinä se leikkaa itsensä, toisin sanoen on olemassa pisteitä, jotka projektiivisella tasolla ovat erillisiä mutta joita roomalaisella tasolla vastaa sama piste.

Tetrahemiheksaedri on projektiivista tasoa kuvaava monitahokas

Tetrahemiheksaedri on projektiivista tasoa kuvaava monitahokas, jolla on sama perus­rakenne kuin Steinerin roomalaisella pinnalla.

Tasoprojektiot

Projektiiviselle tasolle on olemassa useita tasoprojektioita. Vuonna 1874 Felix Klein tutki kuvausta $k(x,y)=(1+x^{2}+y^{2})^{1/2}.(x,y)$

Projektiivisen puoli­pallon keskeisprojektio tasolle antaa tulokseksi tavallisen, jäljempänä kuvatun äärettömän projektiivisen tason.

-->

Homogeeniset koordinaatit

Reaalisen projektiivisen tason pisteet voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Pisteellä on homogeeniset koordinaatit [x : y : z], missä koordinaattien [x : y : z] and [tx : ty : tz] katsotaan tarkoittavan samaa pistettä, olipa t mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Pisteet, joiden koordinaatit voidaan esittää muodossa [x : y : 1], muodostavat tavanomaisen tason $\mathbb {R}$, jota sanotaan projektiivisen tason äärellisen osan, kun taas pisteet, joiden koordinaatit ovat [x : y : 0], ovat niin sanottuja äärettömyydessä olevia pisteitä eli ideaalipisteitä, jotka muodostavat äärettömyydessä olevan suoran. Homogeeniset koordinaatit [0 : 0 : 0] eivät vastaa mitään pistettä.

Myös tason suorat voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Projektiivisella suoralla, joka vastaa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ tasoa ax + by + cx = 0, on homogeeniset koordinaatit (a : b : c). Täten koordinaatit (a : b : c) ja (da : db : dc) vastaavat samaa suoraa eli ovat ekvivalentit, olipa d mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Niinpä saman suoran eri yhtälöt, jotka ovat muotoa dax + dby + dcz = 0, antavat samat homogeeniset koordinaatit.

Piste [x : y : z] on suoralla (a : b : c), jos ax + by + cz = 0. Niinpä suorat, joiden koordinaatit ovat (a : b : c), missä a ja b eivät molemmat ole nollia, vastaavat tavan­omaisen tason suoria, koska niihin kuuluu pisteitä, jotka eivät ole äärettömyydessä. Koordinaatteja (0 : 0 : 1) vastaa äärettömyydessä oleva suora, sillä siihen kuuluvat vain ne pisteet, joilla z = 0.

Pisteet, suorat ja tasot

Jokainen suora projektiivisella tasolla P² voidaan esittää yhtälöllä ax + by + cz = 0. Jos luvuista a, b ja c muodostetaan pysty­vektori ℓ ja parametreista x, y, z pysty­vektori x, edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa myös matriisimuodossa:

x^Tℓ = 0 or ℓ^Tx = 0.

Käyttämällä vektorimerkintää voidaan sen sijasta kirjoittaa myös:

x ⋅ ℓ = 0 or ℓ ⋅ x = 0.

Yhtälö k(x^Tℓ) = 0 (missä k on skalaari, ei nolla), kuvaa tasoa, joka kulkee origon kautta avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$, ja k(x) kuvaa origon kautta kulkevaa suoraa. Kolmi­ulotteisen avaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ origon kautta kulkevat suorat ja tasot ovat sen lineaarisia ali­avaruuksia.

Ideaalipisteet

Projektiivisella tasolla P² suoran yhtälö on ax + by + c = 0, ja kertomalla tämä yhtälö jollakin vakiolla k voidaan siitä muodostaa minkä tahansa tason yhtälö, joka on kohtisuorassa x, y -tason kanssa.

Normalisoidut homogeeniset koordinaatit saadaan valitsemalla z = 1. Kaikki pisteet, joilla z = 1, muodostavat tason. Kuvitellaan, että tätä tasoa katsotaan pisteestä käsin, joka on kauempana origosta z-akselilla ja että sinne on merkitty kaksi yhden­suuntaista suoraa. Siitä pisteestä käsin, jossa katsoja on, katsoja voi (näkökyvystään riippuen) nähdä tasosta vain rajallisen alueen, jonka rajat oheisessa kaaviossa on merkitty punaisella. Jos katsoja etääntyy kyseisestä tasosta z-akselia pitkin mutta katsoo koko ajan origoon päin, hän näkee tasosta suuremman osan. Katsojan näkökentässä alkuperäiset pisteet ovat siirtyneet. Tätä siirtymää voidaan kuvata jakamalla homogeeniset koordinaatit jollakin vakiolla. Oikealla olevassa kuvassa ne on jaettu kahdella, joten z:n arvoksi saadaan 0,5. Jos katsoja menee tarpeeksi kauas, se alue, johon hän on kiinnittänyt katseensa, näyttää lopulta kaukaisuudessa olevalta pisteeltä. Samalla kuitenkin yhden­suuntaisista suorista näkyy yhä suurempi osa. Nämä suorat kohtaavat äärettömyydessä olevalla suoralla (suoralla, joka kulkee origon kautta tasossa z = 0). Tason z suorat ovat ideaalisia pisteitä. Taso z = 0 on äärettömyyessä oleva suora.

Homogeeninen piste (0, 0, 0) on siellä, minne kaikki todelliset pisteet päätyvät, kun tasoa katsotaan äärettömän kaukaa. Se on tasolla z = 0 oleva suora, jossa yhden­suuntaiset suorat kohtaavat.

Duaalisuus

Yhtälössä x^Tℓ = 0 on kaksi pystyvektoria. Kumpi tahansa niistä voidaan pitää vakiona ja antaa toiselle eri arvoja. Jos piste x pidetään vakiona ja kertoimelle ℓ annetaan eri arvoja, saadaan muita saman pisteen kautta kulkevia suoria. Jos taas kerroin pidetään vakiona ja vaihdetaan pistettä x, saadaan muut samalla suoralla olevat pisteet. Vektori x vastaa pistettä, koska käytettävät akselit ovat x-, y- ja z-akseli. Jos sen sijaan kertoimia kuvattaisiin akseleilla, joille käytettäisiin merkintää a, b ja c, pisteistä tulisi suoria ja suorista pisteitä. Jos todistetaan jotakin käyttämällä akseleja x, y ja z, sama argumentti pätee myös akseleille a, b ja c. Tätä ominaisuutta sanotaan projektiivisen tason duaalisuudeksi.

Pisteitä yhdistävät suorat ja suorien leikkaus duaalisuuden avulla

Yhtälöllä x^Tℓ = 0 lasketaan kahden pysty­vektorin sisätulo. Kahden vektorin sisä­tulo on nolla, jos vektorit ovat orto­gonaaliset. Projektiivisella tasolla P² pitseiden x₁ ja x₂ kautta kulkeva suora voidaan esittää pysty­vektorina ℓ, joka toteuttaa yhtälöt x₁^Tℓ = 0 ja x₂^Tℓ = 0, toisin sanoen pysty­vektorina ℓ, joka on orto­gonaalinen x₁:n ja x₂:n kanssa. Sellainen vektori saadaan ristitulolla: näiden pisteiden kautta kulkevan suoran homo­geeniset koordinaatit saadaan yhtälöstä x₁ × x₂. Kahden suoran leikkaus­piste löydetään duaalisuus­periaatetta käyttämällä samaan tapaan, suoria kuvaavien vektorien risti­tulolla ℓ₁ × ℓ₂.

Upotus neliulotteiseen avaruuteen

Vaikka reaalista projektiivista avaruutta ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen euklidiseen avaruuteen, voidaan se kuitenkin upottaa neli- tai useampi­ulotteiseen avaruuteen. Projektiivinen taso $P_{2}(\mathbb {R} )$ on pallopinnan

S² = {(x, y, z) ∈ $\mathbb {R} ^{3}$ : x²+y²+z² = 1}

tekijäavaruus ekvivalenssirelaation (x, y, z) ~ (−x, −y, −z) suhteen, jossa anti­podiset pisteet ovat ekvi­valentit. Tarkastellaan funktiota $\mathbb {R} ^{3}$ → $\mathbb {R} ^{4}$: (x, y, z) ↦ (xy, xz, y²−z², 2yz). Rajoitetaan tämä kuvaus pallo­pinnalle S², ja koska sen jokainen komponentti on parillisen asteen homogeeninen polynomi, se saa saman arvon pallopinnan S² missä tahansa kahdessa vastakkaisessa eli anti­podisessa pisteessä. Täten saadaan kuvaus$P^{2}(\mathbb {R} )$ → $\mathbb {R} ^{4}$. Tämä kuvaus on lisäksi upotus. On huomattava, että tämä upotuksesta voidaan muokata myös kuvaus $\mathbb {R} ^{3}$:een, joka kuitenkaan ei ole upotus vaan immersio; tällöin tuloksena saadaan roomalainen pinta.

Korkeammat ei-orientoituvat pinnat

Liimaamalla yhteen projektiivisia tasoja perä­jälkeen saadaan ei-orientoituvia pintoja, joilla on korkeampi demigenus. Liimaaminen suoritetaan leikkaamalla jokaisesta pinnasta pieni kiekko ja samastamalla ("liimaamalla") niitä rajoittavat ympyrän­kehät. Liimaamalla täten kaksi projek­tiivista tasoa yhteen saadaan Kleinin pullo.

Lähteet

• H. S. M. Coxeter: The Real Projective Plane, 2. painos. Cambridge University Press, 1995.
• Reinhold Baer: Linear Algebra and Projective Geometry. Dover, 2005. ISBN 0-486-44565-8
• Real Projective Plane Wolfram MathWorld. Viitattu 11.11.2014.

Aiheesta muualla

• Line field coloring using Wener Boy's real projective plane immersion (pdf) vis.cs.brown.edu. Viitattu 11.11.2014.