Jordanin käyrälause

Jordanin käyrälause. Jordanin käyrä (musta viiva) jakaa tason "sisä­puoleen" (vaalean­sininen) ja "ulko­puoleen" (vaalean­punainen.

Jordanin käyrä on topologiassa jokainen sellainen tasossa oleva käyrä, joka muodostaa suljetun silmukan eikä leikkaa itseään. Jordanin käyrälause on topo­loginen lause, jonka mukaan jokainen Jordanin käyrä jakaa tason kahteen osaan, "sisä­puoleen" ja "ulko­puoleen", joiden välisenä rajana se on, niin että jokainen polku, joka yhdistää toisinaan kaksi sen eri puolilla olevaa pistettä, leikkaa Jordanin käyrän vähintään yhdessä pisteessä. Vaikka tämä lause näin esitettynä vaikuttaa intuitiivisesti selvältä, sitä ei ole helppo todistaa alkeellisilla menetelmillä. Sen selvimmät todistukset perustuvat algeb­ralli­seen topo­logiaan, ja samaan tapaan lause voidaan yleistää myös useampi­ulotteisiin avaruuksiin.

Jordanin käyrä­lause on saanut nimensä matemaatikko Camille Jordanin mukaan, joka esitti sen ensimmäisen todistuksen. Useiden vuosi­kymmenien ajan oltiin yleisesti sitä mieltä, että hänen todistuksensa oli virheellinen ja että ensimmäisen pätevän todistuksen lauseelle muotoili Oswald Veblen. Tämän käsityksen on kuitenkin kyseen­alaistanut muun muassa Thomas C. Hales.

Määritelmät ja lauseen muotoilu

Tasossa $\mathbb {R} ^{2}$ Jordanin käyrä C eli yksin­kertainen suljettu käyrä on ympyrän kuva injektiivisessä jatkuvassa kuvauksessa tasoon: φ: S¹ → R². Vastaavasti Jordanin kaari tasossa on suljetun välin kuva jatkuvassa injektiossa.

Vaihtoehtoisesti Jordanin käyrä voidaan määritellä sellaisena jatkuvana kuvauksena φ: [0,1] → R², että φ(0) = φ(1) ja että φ:n rajoittuma puoliavoimelle välille [0,1) on injektio. Kaksi ensimmäistä ehtoa merkitsevät, että C on jatkuva silmukka, kun taas jälkimmäinen ehto edellyttää, että C ei leikkaa itseään yhdessäkään pisteessä.

Jordanin käyrälause voidaan täsmällisesti ilmaista seuraavasti:

Olkoon C Jordanin käyrä tasossa $\mathbb {R} ^{2}$. Tällöin sen komplementti $\mathbb {R} ^{2}\setminus C$ koostuu täsmälleen kahdesta yhtenäisestä komponentista. Toinen komponenteista on rajoitettu (sisäpuoli), toinen rajoittamaton (ulkopuoli), ja käyrä C on molempien reuna.

Lisäksi Jordanin käyrän komplementti tasossa on yhtenäinen.

Todistus ja yleistyksiä

Jordanin käyrän yleistivät useampaan ulottuvuuteen toisistaan riippumatta H. Lebesgue ja L. E. J. Brouwer vuonna 1911 esittäen Jordanin-Brouwerin erottelulauseen:

Olkoon X topologinen pallo n+1 -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb {R}$ⁿ⁺¹, toisin sanoen joukko, joka saadaan kuvaamalla n-pallo Sⁿ injektiivisellä jatkuvalla kuvauksella avaruuteen $\mathbb {R}$ⁿ⁺¹. Tällöin sen komplementti avaruudessa $\mathbb {R}$ⁿ⁺¹, muodostuu täsmälleen kahdesta yhtenäisestä komponentista, joista toinen on rajoitettu (sisä­puoli), toinen rajoittamaton (ulko­puoli). Joukko X on molempien reuna.

Todistuksessa käytetään homologiateoriaa. Ensin osoitetaan yleisemmin, että jos X on homeo­morfinen k-pallon kanssa, joukon Y = $\mathbb {R}$ⁿ⁺¹ \ X redusoidut homologia­ryhmät ovat

${\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,\quad q=n-k\\0,\quad {\text{muutoin}}.\end{cases}}$

Tämä voidaan todistaa induktiolla k:n suhteen käyttämällä Mayer-Vietorisin sarjaa. Kun n = k, Y:n nollas redusoitu homologia­ryhmä on astetta 1, mikä merkitsee, että Y:llä on kaksi komponenttia, jotka sitä paitsi ovat polku­yhtenäisiä, ja voidaan myös osoittaa, että niiden yhteinen reuna on X.

Erään yleistyksen esitti James Waddell Alexander, joka osoitti Alexanderin dualiteetin $\mathbb {R}$ⁿ⁺¹:n kompaktin osajoukon X ja sen komplementin redusoidun kohomologian välillä. Jos X on n-ulotteinen reunaton monisto avaruudessa $\mathbb {R}$ⁿ⁺¹ (tai avaruudessa Sⁿ⁺¹), sen komplementilla on kaksi komponenttia.

Eräs Jordanin käyrän laajennus on Jordanin-Schönfliesin lause, jonka mukaan Jordanin käyrän sisä- ja ulkopuolella olevat alueet tasossa $\mathbb {R} ^{2}$ ovat homeo­morfiset yksikkö­kiekon sisä- ja ulko­puolen kanssa. Erityisesti jokainen piste P Jordanin käyrän sisä­puolella voidaan yhdistää mihin tahansa pisteeseen A Jordanin kaarella siten, että kaikki kaaren pisteet pääte­pistettä A lukuun ottamatta ovat Jordanin käyrän sisä­puolisella alueella. Yhtäpitävästi Jordanin-Schönfieldin lause voidaan muotoilla niin, että jokainen kuvaus φ, joka määrittelee Jordanin käyrän, φ: S¹ → $\mathbb {R} ^{2}$, missä S on yksikköympyrä, voidaan laajentaa homeomorfismiksi ψ: $\mathbb {R} ^{2}$ → $\mathbb {R} ^{2}$.

Toisin kuin Jordanin käyrä­lausetta, Jordanin-Schönfliesin lausetta ei voida yleistää useampaan ulottuvuuteen: vaikka yksikkö­pallon $\mathbb {R} ^{3}$ ulkopuoli on yhdesti yhtenäinen, on olemassa pintoja, jotka kyllä ovat homeo­morfisia pallo­pinnan kanssa mutta muodoltaan niin taivutettuja, että niiden komplementin rajoittamaton komponentti $\mathbb {R} ^{3}$:ssa ei ole yhdesti yhtenäinen eikä siten homeomorfinen yksikkö­pallon ulko­puolen kanssa.

Historia ja muita todistuksia

Jordanin käyrälause saattaa ensi kuulemalta vaikuttaa selvältä, mutta se on jokseenkin vaikea todistaa. Bernard Bolzano oli ensimmäinen, joka muotoili asian tämällisenä konjektuurina huomaten, ettei asia ollut itsestään selvä vaan edellytti todistusta. On helppoa osoittaa tämä tulos ympyrälle, ja melko helppoa myös monikulmion muotoisille viivoille, mutta vaikeus ilmeni yleistettäessä se eri­laisille tarpeeksi moni­mutkaisille käyrille, joita ovat esimerkiksi ei-missään derivoituvat käyrät kuten Kochin käyrä ja muut fraktaaliset käyrät sekä myös Osgoodin käyrä, jolla on posi­tiivinen pinta-ala.

Ensimmäisen todistuksen lauseelle esitti Camille Jordan reaalianalyysistä pitämillään luennoilla, ja hän julkaisi sen kirjassaan Cours d'analyse de l'École Polytechnique. On jossain määrin kiistelty siitä, onko Jordanin todistus täydellinen: enemmistö kommen­toijista on väittänyt, että ensimmäisen täydellisen todistuksen esitti Oswald Veblen, joka sanoi Jordanin todistuksesta:

»Hänen todistuksensa on kuitenkin monien mate­maatik­ko­jen mielestä epä­tyydyttävä. Hän esittää teorian todistamatta sitä yksin­kertaisten moni­kulmioiden muodostamalle tärkeälle erikois­tapaukselle, ja siitä eteenpäin todistuksesta on myönnettävä, että ainakaan kaikkia yksityis­kohtia ei ole esitetty.»

Thomas C. Hales kuitenkin kirjoitti:

»Melkein kaikki modernit sitaatit, jotka olen löytänyt, ovat yhtä mieltä siitä, että ensimmäisen pätevän todistuksen esitti Veblen... Koska Jordanin todistusta on ankarasti arvosteltu, yllätyin lukiessani hänen todistuksensa ja huomatessani, etten löytänyt siitä mitään huomau­tetta­vaa. Siitä lähtien olen ottanut yhteyttä moniin kirjoit­tajiin, jotka ovat arvostelleet Jordania, ja kaikki kirjoittajat ovat myöntäneet, ettei heillä ole suoraa tietoa virheestä Jordanin todis­tuksessa. »

Hales huomautti myös, että yksin­kertaisten moni­kulmioiden erikois­tapaus ei ole vain helppo harjoitus, vaan Jordan ei sitä todella käyttänyt, ja hän totesi Michael Reekeniä lainaten:

»Jordanin todistus on oleellisesti oikea.. Jordanin todistus ei esitä yksityis­kohtia tyydyttävällä tavalla. Mutta ajatus on oikea, ja tietyillä viilauksilla siitä saadaan kiistämätön.»

Jordanin todistusta samoin kuin de la Vallée-Poussinin samalle lauseelle esittämää todistusta analysoi myöhemmin kriittisesti Schoenflies vuonna 1924 ja samalla täydensi niitä.

Koska Jordanin käyrälause on tärkeä matala­ulotteisessa topologiassa ja kompleksianalyysissa, se sai 1900-luvun alku­puolen johtavilta mate­maati­koilta osakseen runsaasti huomiota. Vaihtoehtoisia todistuksia ja yleistyksiä lauseelle ovat esittäneet James Waddell Alexander, Louis Antoine, Bieberbach, Luitzen Brouwer, Denjoy, Hatrogs, Kerékjártó, Alfred Pringsheim ja Schönflies. Uusia todistuksia ja aikaisempien todistuksien yksin­kertaisempia versioita esitetään edelleen.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 168. Suomentanut Virpi Kauko. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0

Aiheesta muualla

• Täydellinen 6500-rivinen muodollinen todistus Jordanin käyrälauseelle Mizar-sivustolla
• Collection of proofs of the Jordan curve theorem (Andrew Ranickin kotisivu)
• Yksinkertainen todistus Jordanin käyrälauseelle (PDF), David B. Gauld
• Lauseen sovelluksia tietojenkäsittelytieteessä – Determining If A Point Lies On The Interior Of A Polygon (Arkistoitu – Internet Archive), Paul Bourke