Napakoordinaatisto

Napakoordinaatisto.

Napakoordinaatisto on kaksiulotteinen koordinaatisto, jossa jokainen piste on määritetty kiertokulman $\theta$ ja säteen $r$ funktiona. Napakoordinaatisto on käyttökelpoinen tilanteissa, joissa kahden pisteen välinen suhde on helpoiten määritettävissä kulman ja etäisyyden avulla - tavallisemmassa karteesisessa koordinaatistossa vastaava suhde voidaan määrittää trigonometrian keinoilla.

Säde mittaa pisteen etäisyyttä keskipisteestä, eli karteesisen koordinaatiston origoa vastaavasta navasta. Kiertokulma mittaa kulmaa pisteen ja napa-akselin välillä. Napa-akselia vastaava akseli karteesisessa koordinaatistossa on positiivinen $x$-akseli.

Pisteiden piirtäminen napakoordinaatistossa

Pisteet (3,60°) ja (4,210°) napakulmakoordinaatistossa.

Jokainen napakoordinaatiston piste voidaan esittää kahdella napakoordinaatilla, jotka ovat $r$ (etäisyys navasta) ja $\theta$ (kiertokulma vastapäivään positiivisesta $x$-akselista).

Esimerkiksi napakoordinaatiston piste (3, 60°) voidaan piirtää kolmen yksikön päähän navasta 60° säteen kohdalle. Piste (−3, 240°) piirretään samaan pisteeseen, sillä negatiivinen säde vastaa 180 asteen kiertoa.

Napakoordinaatistossa voidaan yhdelle pisteelle antaa ääretön määrä eri koordinaatteja, koska navan ympäri voidaan tehdä kokonaisia kierroksia ilman, että pisteen sijainti muuttuu. Yleisesti piste $(r,\theta )$ voidaan esittää muodossa $(r,\theta \pm n\cdot 360^{\circ })$ tai $(-r,\theta \pm (2n+1)\cdot 180^{\circ })$, jossa $n$ on mielivaltainen kokonaisluku.

Mielivaltaisia koordinaatteja $(0,\theta )$ käytetään yleensä esittämään napaa, sillä $\theta$-koordinaatin arvosta huolimatta piste, jolle $r=0$, sijaitsee aina navassa. Kulmat voidaan napakulmakoordinaatistossa esittää vapaasti joko asteina tai radiaaneina käyttäen muunnoskaavaa $2\pi \,{\text{rad}}=360^{\circ }$. Valinta riippuu lähinnä asiayhteydestä, sillä esimerkiksi navigoinnissa käytetään usein asteita, kun taas monet fysiikan sovellukset ja lähes kaikki matemaattinen kirjallisuus käyttävät radiaaneja.

Karteesiset koordinaatit

Napakoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välistä suhdetta esittävä kuvaaja.

Napakoordinaatit $r$ ja $\theta$ voidaan muuntaa karteesisiksi koordinaateiksi $x$ ja $y$ käyttämällä trigonometrisiä funktioita sini ja kosini:

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta .$

Karteesiset koordinaatit $x$ ja $y$ voidaan muuntaa napakoordinaatiksi $r$ Pythagoraan lauseella:

$r^{2}=y^{2}+x^{2}.$

Kiertokulman $\theta$ määrittämiseksi tulee ottaa huomioon seuraavat ehdot:

• Kun $r=0$, kulma $\theta$ voi olla mielivaltainen.
• Kun $r\neq 0$, kulma $\theta$ valitaan yleensä välille $[0,2\pi )$.

Kulman $\theta$ saamiseksi välille $[0,2\pi )$ voidaan käyttää seuraavia kaavoja (funktiota $\arctan$ merkitään joskus $\tan ^{-1}$, lähinnä laskimissa)

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jos }}x>0{\mbox{ ja }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{jos }}x>0{\mbox{ ja }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jos }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y<0.\end{cases}}$

Kulman $\theta$ saamiseksi välille $(-\pi ,\pi ]$, voidaan käyttää seuraavaa:

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jos }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y<0.\end{cases}}$

Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa

Napayhtälöksi kutsutaan algebrallisen käyrän napakulmakoordinaatistossa määrittävää yhtälöä. Monissa tapauksissa yhtälö voidaan määrittää yksinkertaisesti määrittämällä $r$ muuttujan $\theta$ funktiona.

Monet käyrät voidaan ilmaista suhteellisen yksinkertaisina napayhtälöinä, vaikka niiden karteesinen muoto olisikin huomattavasti monimutkaisempi.

Ympyrä

Ympyrä, jonka yhtälö on $r(\theta )=1$.

Yleinen yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on $(r_{0},\varphi )$ ja säde $a$, on

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.$

Yhtälöä voidaan tietyissä erityistapauksissa yksinkertaistaa, kuten keskipisteen ollessa origossa ja säteen ollessa $a$:

$r(\theta )=a.$

Suora

Säteittäisiä eli navan kautta kulkevia suoria kuvaa yhtälö

$\theta =\varphi ,$

jossa $\varphi$ kuvaa suoran jyrkkyyttä, joka saadaan kaavalla $\varphi =\arctan k$, jossa $k$ on suoran kulmakerroin karteesisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäiselle suoralle, joka leikkaa kohtisuorasti säteittäisen suoran $\theta =\varphi$ pisteessä $(r_{0},\varphi )$ pätee yhtälö

$r(\theta )={\frac {r_{0}}{\cos(\theta -\varphi )}}.$

Ruusukäyrä

Ruusukäyrä, jonka yhtälö on $r(\theta )=2\sin 4\theta$.

Ruusukäyrä on kuuluisa kukalta näyttävä käyrä, joka voidaan ilmaista yksinkertaisella napakulmakoordinaatiston yhtälöllä

$r(\theta )=a\cos(k\theta +\varphi _{0})$

mille tahansa vakiolle $\varphi _{0}$ sisältäen nollan. Jos $k$ on pariton kokonaisluku, ruusukäyrän yhtälöt tuottavat $k$-terälehtisen ruusun, ja jos $k$ on parillinen kokonaisluku, $2k$-terälehtisen ruusun. Jos $k$ on rationaaliluku, muttei kokonaisluku, ruusun kaltainen käyrä saattaa muodostua, mutta terälehdet saattavat asettua päällekkäin. Huomioitavaa on, ettei yhtälöä $4n+2$-terälehtiselle ruusulle voida määrittää. Muuttuja $a$ kuvaa ruusun terälehtien pituutta.

Arkhimedeen spiraali

Eräs Arkhimedeen spiraalin haara, jonka yhtälö on $r(\theta )=\theta$, kun $0<\theta <6\pi$.

Arkhimedeen spiraali on kuuluisa Arkhimedeen keksimä kuvio, joka voidaan kuvata myös yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä.

$r(\theta )=a+b\theta .$

Muuttujan $a$ arvon muuttaminen kääntää spiraalia, ja muuttujan $b$ arvon muuttaminen muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa. Muuttujien arvot ovat vakiot tietylle spiraalille. Arkhimedeen spiraalilla on kaksi haaraa, toinen arvoille $\theta >0$, ja toinen arvoille $\theta <0$. Haarat yhdistyvät napapisteessä.

Kartioleikkaukset

Ellipsi.

Kartioleikkaus, jonka toinen polttopiste on navalla ja toinen 0° säteellä saadaan yhtälöstä

$r={\ell \over {1+e\cos \theta }},$

jossa $e$ on eksentrisyys ja $\ell$ on pystysuora etäisyys polttopisteestä kehälle. Jos $e>1$, yhtälö määrittelee hyperbelin; jos $e=1$, se määrittelee paraabelin; jos $e<1$, se määrittelee ellipsin. Edellisen erikoistapauksessa, kun $e=0$, yhtälö määrittelee $\ell$-säteisen ympyrän.

Kompleksiluvut

Kompleksiluku $z$ piirrettynä kompleksitasolle.

Kompleksiluku $z$ piirrettynä kompleksitasolle käyttäen Eulerin kaavaa.

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kompleksitason pisteenä, ja siten voidaan esittää joko pisteen karteesisen koordinaatiston koordinaatit tai pisteen napakoordinaatiston koordinaatit. Kompleksiluku $z$ voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa

$z=x+iy,$

jossa $i$ on imaginääriyksikkö, tai vaihtoehtoisesti napakoordinaatiston muodossa muodossa

$z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )$

ja edelleen muodossa

$z=re^{i\theta },$

jossa $e$ on Neperin luku, kuten Eulerin kaavat osoittavat. (On huomioitava, että kulma $\theta$ ilmoitetaan radiaaneissa.)

Kompleksilukujen kerto- ja jakolasku sekä potenssiin korotus onnistuvat huomattavasti helpommin napakoordinaatistomuotoisilla kompleksiluvuilla kuin normaalimuodossa olevilla.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).