Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali.[1] Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä . Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.
Olkoon mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.
Kuvaus on yksinkertainen, jos
,
missä ; ja joukot ovat perusjoukon ositus ja on indikaattorifunktio.
Yksinkertaisen funktion integraali on
.
Olkoon kuvaus, joka on -mitallinen. Kuvauksen integraali on
.
Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa
.
Kuvauksen integraali yli joukon on
.
Kuvaus on integroituva, jos pätee ehto
.
on integroituva yli joukon , jos pätee
.
on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee
tai .
Oletetaan, joukko , ja ovat -mitallisia kuvauksia ja integroituvia yli joukon .
- pätee kolmioepäyhtälö
- summa on integroituva yli joukon ja
- jos , niin on integroituva yli joukon ja
- jos , niin
- jos , niin
- jos melkein kaikkialla joukossa , niin
Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.
Jos lisäksi , ja ovat erillisiä sekä on -mitallisia kuvaus ja integroituva yli joukon , niin
.
Olkoon mitta-avaruus, täydellinen mitta ja luku . Merkitään eksponentilla integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla
.
Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla
.
on siis integroituva jos ja vain jos . Sanotaan, että on neliöintegroituva, jos .
Ominaisuuksia:
- on Banach-avaruus kaikilla
- jos on äärellinen mitta ja , niin
Jos ja siten, että
,
sekä ja , niin Hölderin epäyhtälö on
.
Jos ja , niin epäyhtälö pätee muodossa
.
Lukuja ja kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.
Jos , niin
. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle -funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus on vakaa yhteenlaskun suhteen.
Olkoon joukko ja jono -mitallisia kuvauksia . Tällöin
ja
.
Olkoon joukko ja jono -mitallisia kuvauksia siten, että jonon raja-arvo
on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että
.
Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Jos pätee , niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Jos on olemassa integroituva kuvaus siten, että kaikilla melkein kaikkialla joukolla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.
Jos ja kaikilla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Jokaiseen mitta-avaruuden mitalliseen kuvaukseen voidaan liittää mittaintegraali yli jokaisen joukon . Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus
on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.
Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966).
Usein esiintyviä integraaleja:
- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0