Radon-mitta

Radon-mitat eli Radonin mitat ovat lokaalisti kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa tärkeä mittatyyppi. Radon-mitat ottavat huomioon erityisesti avaruuden topologian niin, että Radon-mitan antama arvo vastaa enemmän intuitiivista tulkintaa koosta. Tärkeitä Radon-mittoja ovat mm. Lebesguen mitta, Hausdorffin mitat ja Haarin mitta.

Määritelmä

Olkoon $(X,{\mathcal {T}})$ lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus ja $\mu$ Borel-mitta X:ssä. Nyt $\mu$ on Radon-mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. $\mu (K)<\infty$ kaikilla kompakteilla $K\subset X$.
2. $\mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subset U{\mbox{ ja }}K\subset X{\mbox{ kompakti}}\}$ kaikilla avoimilla $U\subset X$.
3. $\mu (B)=\inf\{\mu (U):B\subset U{\mbox{ ja }}U\subset X{\mbox{ avoin}}\}$ kaikilla Borel-joukoilla $B\subset X$.

Monet lähteet jättävät ehdon 3. (ulkosäännöllisyys) pois ja vaativat vain, että mitta on sisäsäännöllinen ja lokaalisti äärellinen. Joskus ehto 2. vaaditaan myös kaikilla äärellismitallisilla Borel-joukoilla, kaikilla Borel-joukoilla tai peräti kaikilla mitallisilla joukoilla. Harvoin vaaditaan, että $\mu (X)<\infty$.

Ehto 1. on ekvivalentti seuraavan ehdon kanssa:

1'. $X$ on lokaalisti äärellinen (eli joka pisteellä $x\in X$ on ympäristö, jonka mitta on äärellinen).

Todistus: 1.$\Rightarrow$1'., koska jos $V$ on ympäristö, jonka sulkeuma on kompakti, $\mu (V)<\infty$. 1'.$\Rightarrow$1., koska jos jokaiseen kompaktin joukon pisteeseen liitetään äärellismitallinen ympäristö, äärellisen moni näistä ympäristöistä yhdessä peittää sen kompaktin joukon, jonka mitta on siis näiden mittojen summaa pienempi, siten äärellinen, MOT.

Jos jokainen joukon $X$ avoin osajoukko on $\sigma$-kompakti (näin on jos $X$ on joukon $\mathbb {R} ^{d}$ avoin tai suljettu aliavaruus), kaikki ehdon 1. täyttävät mitat ovat säännöllisiä (täyttävät ehdot 2. ja 3.) ja siten Radon-mittoja. Erityisesti tällöin kaikki äärelliset mitat ovat Radonin mittoja.

Sovelluksia

• Frostmanin lemma
• Mittojen heikko suppeneminen
• Rieszin esityslause

Lähteet

• Walter Rudin: Real and complex analysis. 3rd painos. New York: McGraw-Hill, 1987. ISBN 978-0-07-054234-1

Aiheesta muualla

• Radon measure, Encyclopedia of Mathematics.
• What is actually the standard definition for Radon measure?, Math Overflow.
• On Radon Measure, David Kent & Lindsay Mercer, 3.12.2016