Transkendenttifunktio

Transkendenttifunktio eli transkendenttinen funktio on matematiikassa analyyttinen funktio, joka ei ole algebrallinen. Toisin sanoen analyyttinen funktio f on transkendenttinen, jos se ei toteuta mitään muotoa toteuta mitään polynomiyhtälöä $P(f(x),x)=0$.

Transkendenttisiä funktiota ovat esimerkiksi eksponenttifunktio, logaritmi ja trigonometriset funktiot.

Määritelmä

Muodollisen määritelmän mukaan yhden reaali- tai kompleski­muuttujan funktio f(z) on trans­kendenttinen, jos se on algebrallisesti riippumaton tästä muuttujasta. Tämä määritelmä voidaan laajentaa useamman muuttujan funktioihin.

Historia

Transkendenttisista funktioista tulivat trigonometriset funktiot ensimmäisinä tunnetuiksi. Vanhalla ajalla niitä käytettiin ennen kaikkea tähti­tieteessä. Hipparkhos (190–127 eKr.) laati mittauksiin perustuvan taulukon ympyrän erisuuria kaaria vastaavien jänteiden pituuksista eli itse asiassa taulukon funktion $f(x)=2\sin {\frac {x}{2}}$ arvoista. Taulukkoa tarkensi myöhemmin Ptolemaios Nykyisellä tavalla määritellyn sinifunktion arvot taulukoitiin Intiassa 400-luvulla. 1700-luvulla Jakob Bernoulli ja varsinkin Leonhard Euler tutkivat näitä funktioita tarkemmin, niin että ne voitiin määritellä puhtaasti matemaattisen [[analyysi (matematiikka)|analyysin keinoin geometriasta riippumatta.

Vuonna 1647 Grégoire de Saint-Vincent otti käyttöön uuden funktion, logaritmin, jonka avulla voitiin määrittää hyperbelin xy = 1, x-akselin ja kahden y-akselin suuntaisen suoran välisen alueen pinta-ala. Tämä tapahtui noin kaksituhatta vuotta sen jälkeen, kun Arkhimedes oli määrittänyt paraabelin ja sitä leikkaavan suoran välisen alueen pinta-alan. Saint-Vincentin määrittelemällä funktiolla oli kuitenkin vain vähän muuta käyttöä, ennen kuin Euler vuonna 1748 otti käyttöön funktion, jossa vakio korotetaan muuttuvan eksponentin osoittamaan potenssiin. Kun täksi vakioksi valittiin Neperin luku e, Saint-Vincentin määrittelemä logaritimifunktio osoittautui tämän ekxponenttifunktion käänteisfunktioksi.

Eksponenttifunktiolle käytetään merkintää $\exp(x)=e^{x}$. Euler samasti sen [[päättymätön sarja|päättymättömän sarjan ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ kanssa, missä k! tarkoittaa k:n kertomaa.

Jos tästä sarjasta otetaan huomioon joko vain parilliset tai vain parittomat termit, saadaan edellisessä tapauksessa hyperbolinen kosini cosh(x), jälkimmäisessä tapauksessa hyperbolinen sini sinh(x), joiden summa on $e^{x}=\cosh x+\sinh x$.}} Nämä hyperboliset funktiot ovat myös transkendenttisia. Trigonometriset funktiot saadaan niistä kertomalla sarjan jokainen termi kertoimella (−1)^k, jolloin sarjasta tulee vuorotteleva. Eulerista lähtien matemaatikot ovat käsittäneet sinin ja kosinin tällä tavoin, jolloin niiden transkendenttisuus kytkeytyy logaritmi- ja eksponentti­funktioon. Tätä kuvastaa erityisesti Eulerin kaava $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\,$, jonka avulla eksponentti­funktio voidaan laajentaa kompleksilukujen joukkoon.

Esimerkkejä

Esimerkiksi seuraavat funktiot ovat transkendenttisia:

• $f(x)=x^{\pi }$
• $f(x)=c^{x}$
• $f(x)=x^{x}$
• $f(x)=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}$
• $f(x)=\log _{c}x$
• $f(x)=\sin {x}$

Jos näistä toisessa asetetaan $c$:n arvoksi Neperin luku $e$, todetaan, että $e^{x}$ on transkendenttinen funktio. Samoin jos viidennessä yhtälössä asetetaan $c$:n arvoksi $e$, saadaan luonnollinen logaritmifunktio $\ln {x}$, joka on myös transkendenttinen.

Algebralliset ja transkendenttiset funktiot

Tunnetuimmat transkendenttiset funktiot ovat logaritmi, eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot ja näiden käänteisfunktiot. Näitä sanotaan trans­kendenttisiksi alkeisfunktioiksi.

Muita traskendenttifunktioita, joita ei lueta alkeis­funktioiden joukkoon, ovat gammafunktio, elliptiset funktiot ja zeta-funktio. Yleistetty hypergeometrinen funktio ja Besselin funktio ovat myös yleensä trans­kendenttisia, mutta joillakin parametrien arvoilla algebrallisia.

Funktio, joka ei ole transkendenttinen, on 'algebrallinen Sellaisia ovat esimerkiksi rationaalifunktiot ja neliöjuuri, mutta Abelin–Ruffinin lauseesta seuraa, ettei kaikkia algebrallisia funktioitakaan voida esittää perus­lasku­toimitusten ja juuren­ottojen avulla muodostettuina lausekkeina.

Monien algebrallistenkin funktioiden integraalifunktio on trans­kendenttinen. Esimerkiksi funktion 1/x integraali­funktio on luonnollinen logaritmifunktio ln x.

Differentiaalialgebra tutkii, miten integrointi usein johtaa funktioihin, jotka ovat algebrallisesti riippumattomia jostakin luokasta, esimerkiksi kun muuttujana käytetään trigono­metristen funktioiden polynomeja.

Transkendentaalisesti transkendenttiset funktiot

Useimmat tunnetuimmat transkendentti­funktiot, myös matemaattisessa fysiikassa esiintyvät erikoisfunktiot, ovat algebrallisten differentiaali­yhtälöiden ratkaisuja. On kuitenkin myös funktioita, jotka eivät toteuta mitään sellaista yhtälöä. Sellaisia ovat esimerkiksi gammafunktio ja Riemannin zeeta-funktio. Niitä sanotaan trans­kendentaalisesti trans­kendentaalisiksi eli hyper­trans­kendentti­siksi funktioiksi.

Poikkeusjoukko

Jos $f$ on algebrallinen funktio ja $\alpha$ algebrallinen luku, myös $f(\alpha )$ on algebrallinen luku. Kääntäen ei kuitenkaan päde: algebrallista lukua $\alpha$ vastaava funktio $f(\alpha )$ saattaa olla algebrallinen luku, vaikka funktio f olisikin trans­kendenttinen. On jopa olemassa kokonaisia trans­kendenttisia funktiota $f$, joilla $f(\alpha )$ on algebrallinen jokaisella algebrallisella luvulla $\alpha .$ Jos f on trans­kendenttinen funktio, sanotaan niiden algebrallisten lukujen $\alpha$joukkoa, joita vastaava funktion arvo $f(\alpha )$ on algebrallinen, sanotaan tämän funktion poikkeus­joukoksi. Muodollisesti se määritellään seuraavasti:

$${\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbf {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbf {Q} }}\right\}.$$

Monissa tapauksissa poikkeusjoukko on varsin pieni. Esimerkiksi Ferdinand von Lindemann todisti vuonna 1882, että eksponenttifunktion $e^{x}$ poikkeus­joukkoon kuuluu vain nolla eli ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$. Koska erityisesti $\exp {(i\pi )}=-1$, seuraa tästä, että iπ ei ole algebrallinen luku. Koska i on algebrallinen, on π transkendenttiluku.

Yleensä funktion poikkeusjoukon löytäminen on vaikea tehtävä, mutta jos se voidaan suorittaa, se voi usein johtaa trans­kendentti­lukujen teorian kannalta merkittäviin tuloksiin. Seuraavassa on muutamien muiden funktioiden tunnettuja poikkeus­joukkoja:

• Kleinin j-invariantti ${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in \mathbf {H} \,:\,[\mathbf {Q} (\alpha ):\mathbf {Q} ]=2\right\},$ missä H on ylempi puolitaso ja [Q(α): Q] on lukukunnan Q(α) aste. Tämän osoitti Theodor Schneider.
• 2-kantainen eksponenttifunktio: $${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbf {Q} ,$$ Tämä seuraa Geofondin–Schneiderin lauseesta, jonka mukaan jos $\alpha \neq 0,1$ on algebrallinen ja $\beta$ algebrallinen ja irrationaalinen, on $\alpha ^{\beta }$ transkendenttinen. Näin ollen $\mathbf {Q}$ on myös jokaisen funktion c^x poikkeusjoukko, kun c on mikä tahansa algebrallinen luku, ei kuitenkaan 0 eikä 1.
• Edellisestä seuraa myös, että $${\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbf {Q} \setminus \{0\}.$$
• Mikäli Schanuelin konjektuuri transkendentti­lukujen teoriassa on tosi, siitä seuraa, että ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset$
• Voidaan osoittaa, että Schanuelin konjektuurista riippumattakin ${\mathcal {E}}\left(\exp(1+\pi x)\right)=\emptyset$.

Vaikka poikkeus­joukon muodostaminen annetulle funktiolle ei ole helppoa, on kuitenkin todistettu, että algebrallisten lukujen joukon jokainen osajoukko on jonkin trans­kendenttisen funktion poikkeus­joukko. Erityisesti myös algebrallisten lukujen joukko itse on jonkin funktion poikkeus­joukko, toisin sanoen on olemassa trans­kendenttinen funktio, jotka saavat arvokseen trans­kendentti­luvun vain, kun sen argumentti on trans­kendentti­luku. Alex Wilkie todisti myös, että on olemassa transkendenttisia funktioita, joita ei voi ensimmäinen asteen logiikkaan perustuvilla todistuksilla sellaisiksi osoittaa, ja muodosti esimerkin sellaisesta analyyttisestä funktiosta.

Dimensioanalyysi

Dimensioanalyysissa transkendenttisilla funktioilla on merkittävä sija, sillä ne on määritelty vain, kun argumentti on dimensioton. (Monissa tapauksissa, esimerkiksi eri yhteyksissä käytettyjen logaritmisten asteikkojen määritelmissä, tällaisen funktion argumenttina esiintyvä suure saadaan dimensiottomaksi jakamalla se jollakin vakiolla, joka on samaa dimensiota kuin varsinainen suure itse.) Matemaattisessa lausekkeessa mahdollisesti esiintyvä dimensiovirhe voidaankin usein helposti todeta lausekkeessa esiintyvien transkendentti­funktioiden avulla. Esimerkiksi log(5 metres) ei ole mielekäs merkintä, toisin kuin log(5 metres / 3 metres) tai myös log(3) metres. Jos tällaiseen lausekkeeseen sovelletaan logaritmien laskusääntöjä, saadaan log(5) + log(metres), mikä korostaa lausekkeen virheellisyyttä erityisen selvästi: ei-algebrallisen toimituksen kohdistaminen dimensioon ei ole mielekästä.

Katso myös

• Analyyttinen funktio
• Alkeisfunktio
• Erikoisfunktio