Besselin funktiot

Besselin funktiot ovat useissa erilaisissa tilanteissa vastaantuleva joukko erikoisfunktioita. Ne liittyvät usein differentiaali- tai osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sylinterikoordinaatistossa, mistä syystä niitä kutsutaan joskus myös sylinterifunktioiksi. Esimerkiksi rummun kalvon värähtely säteen suunnassa on kombinaatio Besselin funktioita. Tyypillinen esimerkki on myös taajuusmoduloidun signaalin spektri. Funktiot on nimetty preussilaisen tähtitieteilijän Friedrich Besselin mukaan.

Alun perin Besselin funktiot ovat Besselin differentiaaliyhtälön

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0$

ratkaisuja. Osoittautuu, että tämän yhtälön ratkaisuja ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla, joten ratkaisut kuuluvat erikoisfunktioihin. Ratkaisun yleinen muoto on

$y(x)=aJ_{n}(x)+bY_{n}(x)\,$,

missä funktio $J_{n}$ on $n$:s ensimmäisen lajin Besselin funktio ja funktio $Y_{n}$ vastaavasti $n$:s toisen lajin Besselin funktio ja kertoimet $a,b\in \mathbb {R}$.

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot $J_{0},J_{1}$ ja $J_{2}$.

Ensimmäisen lajin Besselin funktio voidaan kirjoittaa potenssisarjana

$J_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma (n+k+1)}}$

Tässä esiintyvä funktio $\Gamma$ on myös erikoisfunktioihin kuuluva gammafunktio ja ! tarkoittaa kertomaa. Tilanteessa, jossa $n<0$

$J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)\,$.

Jos $n$ on kokonaisluku, funktiot voidaan määritellä integraalina

$J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(nt-x\sin t)dt$.

Besselin funktioille on voimassa muutamia rekursiokaavoja. Näiden käyttö on yleensä kätevää.

$J_{n+1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n-1}(x)$

$J_{n}'(x)={\frac {1}{2}}(J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x))$

$xJ_{n}'(x)=nJ_{n}(x)-xJ_{n+1}(x)\,$

$(x^{n}J_{n}(x))'=x^{n}J_{n-1}(x)\,$

$(x^{-n}J_{n}(x))'=-x^{-n}J_{n+1}(x)\,$

Toisen lajin Besselin funktiot

Toisen lajin Besselin funktiot $Y_{0},Y_{1}$ ja $Y_{2}$

Toisen lajin Besselin funktiot tunnetaan myös Weberin funktioina tai Neumannin funktioina. Ne voidaan lausua trigonometristen funktioiden ja ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla

$Y_{n}(x)={\frac {J_{n}(x)\cos(n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin(n\pi )}},\;n\neq 0,1,2,\ldots$

ja kokonaislukuindeksille $n=0,1,2,\ldots$

$Y_{n}(x)=\lim _{h\rightarrow n}{\frac {J_{h}(x)\cos(h\pi )-J_{-h}(x)}{\sin(h\pi )}}$

Myös toisen lajin Besselin funktioille on voimassa

$Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)\,$.

Samoin yllä mainitut rekursiokaavat ovat voimassa toisen lajin funktioille sellaisenaan.

Hankelin funktiot

Aaltojen etenemistä tutkittaessa törmätään Hankelin funktioihin. Ne ovat kompleksisia funktioita, joiden reaaliosa on ensimmäisen ja imaginääriosa toisen lajin Besselin funktio. Näille ovat voimassa

$H_{n}^{(1)}(x)=J_{n}(x)-iY_{n}(x)\,$

$\;H_{n}^{(2)}(x)=J_{n}(x)+iY_{n}(x)\,$

Hankelin funktiot voidaan lausua ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla ei-kokonaislukuindeksille $n$

$H_{n}^{(1)}(x)={\frac {J_{-n}(x)-e^{-n\pi i}J_{n}(x)}{i\sin(n\pi )}}$

$H_{n}^{(1)}(x)={\frac {J_{-n}(x)-e^{n\pi i}J_{n}(x)}{-i\sin(n\pi )}}$.

Kokonaislukuindeksille yllä olevista kaavoista on laskettava $\lim _{n\rightarrow k},\;k=0,1,2,\ldots$. Negatiivisille $n$:n arvoille

$H_{-n}^{(1)}(x)=e^{n\pi i}H_{n}^{(1)}(x)$

$H_{-n}^{(2)}(x)=e^{-n\pi i}H_{n}^{(2)}(x)$

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. (Moniste 95) Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6
• Laasonen, Pentti: Matemaattisia erikoisfunktioita. (Moniste 261) Otaniemi: TKK, 1971.

Aiheesta muualla

• Tietopaketti Besselin funktioista (englanniksi)
• Wolfram Mathworld: Bessel Function of the First Kind (englanniksi)
• Wolfram Mathworld: Bessel Function of the Second Kind (englanniksi)