Integraalifunktio

Funktion f integraalifunktio on funktio F, jonka derivaatta on f. Integraalifunktiota kutsutaan myös nimillä määräämätön integraali, primitiivi sekä antiderivaatta, ja sille käytetään merkintää

$F(x)=\int f(x){\rm {d}}x$.

Integraalifunktion määrittämistä eli derivoinnin käänteistoimitusta kutsutaan integroinniksi. Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, vaan siihen voi lisätä vakion, ja näin saadaan toinen saman funktion integraalifunktio.

Integraalifunktioiden ratkaisemiseksi voidaan käyttää erilaisia integroimissääntöjä, kuten muuttujanvaihtoa ja osittaisintegrointia. Integraalifunktioita on myös taulukoitu runsaasti, ja symbolisen matematiikan ohjelmistot kykenevät ratkaisemaan monia integraaleja. Toisin kuin derivointiin, integrointiin ei ole yleispätevää menetelmää, eikä kaikille funktioille edes ole olemassa alkeisfunktioiden avulla esitettävissä olevaa integraalifunktiota.

Funktion määrätty integraali pisteestä a pisteeseen b saadaan analyysin peruslauseen perusteella integraalifunktioiden erotuksena

$\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x=F(b)-F(a)$.

Epäjatkuville funktioille ei välttämättä ole olemassa integraalifunktiota, joka olisi määritelty koko integroimisvälillä, joten aina analyysin peruslausetta ei voi käyttää integraalin määräämiseen.

Ensimmäinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi

Olkoon $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ Riemann-integroituva. Funktio $F$ on funktion $f$ eräs integraalifunktio, mikäli on olemassa $\alpha \in [a,b]$ siten, että

$F(x)=\int _{\alpha }^{x}f(t)\,dt\,,\ \forall x\in [a,b]$

Lisäksi myös funktio $G:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ on funktion $f$ integraalifunktio, mikäli $G=F+C$ jollain $C\in \mathbb {R}$.

Toinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi (primitiivin määritelmä)

Olkoon $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Mikäli on olemassa derivoituva funktio $F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ siten, että $F'=f$, niin $F$ on funktion $f$ primitiivi eli antiderivaatta (tai integraalifunktio).

Alempi määritelmä vaatii, että integraalifunktio on derivoituva, ylempi määritelmä taas ei. Primitiiviltä eli antiderivaatalta vaaditaan siis aina derivoituvuusominaisuus, mutta ylemmän määritelmän mukaiselta integraalifunktiolta ei välttämättä. Määritelmät ovat kuitenkin jatkuville funktiolle samat. Alempi määritelmä on käsitteelliseltä kannalta ongelmallinen: kaikilla integroituvilla funktioilla ei sen mukaan ole integraalifunktiota.

Integraalifunktiot eroavat toisistaan vakiolla

Integraalifunktio on summattavaa vakiota lukuun ottamatta yksikäsitteinen. Toisin sanoen, jos $F$ on funktion $f$ jokin integraalifunktio, niin kaikki sen integraalifunktiot ovat muotoa $F+C$, missä integroimisvakio $C\in \mathbb {R}$ on mielivaltainen. Integraalifunktiolle käytetään merkintää

$\int f(x)\,dx$,

missä integroimisvakiota ei ole kiinnitetty. Tätä merkintätapaa kutsutaan funktion $f$ määräämättömäksi integraaliksi. Merkintätapa tarkoittaa joko sitä, että $F$ on $f$:n antiderivaatta, tai että $F$ on $f$:n integraalifunktio. Jatkuville funktiolle nämä ovat sama asia.

Integraalifunktioiden määrittäminen

Integraalifunktioiden määrittämistä kutsutaan integroinniksi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimenpide, jolla on tärkeä sovellus määrätyn Riemannin integraalin arvon laskemisessa.

Kaikkien alkeisfunktioiden integraalifunktioita ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Tunnettuja esimerkkejä ovat:

$e^{-x^{2}},\ {\frac {1}{\ln x}}{\mbox{ ja }}{\frac {\sin x}{x}}$

Määräämätön integraali on lineaarinen, eli jos funktioilla $f$ ja $g$ on integraalifunktiot ja $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$, niin

$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int f(x)\,dx+\beta \int g(x)\,dx$.

Tässä kaavassa on oletettu, että yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella integroimisvakiot on sopivasti valittu.

Integraalifunktion yhteys määrättyyn integraaliin

Analyysin toisesta peruslauseesta seuraa, että jos funktio $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ on jatkuva, voidaan kirjoittaa (tulos tunnetaan Newtonin-Leibnizin kaavana)

$F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

Integroimiskaavoja

Alla olevissa kaavoissa $f$ ja $g$ ovat $x$:stä riippuvia Riemann-integroituvia funktioita, $k$ reaaliluku ja $a$ positiivinen reaaliluku. Integroimisvakiota ei ole merkitty näkyviin.

$\int kf\,dx=k\int f\,dx$

$\int f'g\,dx=fg-\int g'f\,dx$

$\int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx$

$\int 0\,dx=0$

$\int k\,dx=kx$

$\int x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}\,,\ \mathrm {kun} \ n\neq -1$

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|\,$

$\int f'f^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}f^{n+1}\,,\ \mathrm {kun} \ n\neq -1$

$\int {\frac {f'}{f}}\,dx=\ln {|f|}$

$\int \sin x\,dx=-\cos x$

$\int \cos x\,dx=\sin x\,$

$\int \tan x\,dx=-\ln |\cos x|\,$

$\int f'e^{f}\,dx=e^{f}$

$\int e^{x}\,dx=e^{x}$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}$

$\int \ln |x|\,dx=x\ln |x|-x$

$\int \log _{a}x\,dx=\log _{a}e(x\ln |x|-x)\,,\ \mathrm {kun} \ a>0\ \mathrm {ja} \ a\neq 1$

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Indefinite Integral – MathWorld (englanniksi)
• "Antiderivatives and indefinite integrals" – Khan Academy (englanniksi)