Epäyhtälö

Epäyhtälöllä tarkoitetaan kahden lausekkeen suuruusjärjestystä vertailevia yhtälöitä. Epäyhtälöitä käytetään monissa optimointiin liittyvissä ongelmissa. Koska reaaliluvut on mahdollista laittaa suuruusjärjestykseen, niiden osalta saadaan monia epäyhtälöitä.

Epäyhtälöitä voidaan käsitellä pitkälti kuin yhtälöitä, mutta puolittain negatiivisella luvulla kerrottaessa tai jaettaessa suuruusjärjestys kääntyy. Esimerkiksi jos ${\frac {x}{-5}}<1$ niin $x>-5$.

• Merkintä $a<b\!\$ tarkoittaa a on pienempi kuin b ja
• merkintä $a>b\!\$ tarkoittaa että a on suurempi kuin b.

Nämä suhteet tunnetaan tiukkana epävastaavuutena , kun taas

• $a\leq b$ merkitsee, että a on pienempi tai yhtä suuri kuin b;
• $a\geq b$ merkitsee, että a on suurempi tai yhtä suuri kuin b;
• $a\not >b$ merkitsee, että a ei ole suurempi kuin b ja
• $a\not <b$ merkitsee, että a ei ole pienempi kuin b.

Kuuluisia epäyhtälöitä

• Kolmioepäyhtälö
• Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö
• Suuruusjärjestysepäyhtälö
• Hölderin epäyhtälö
• Jensenin epäyhtälö

Esimerkkejä

Epäyhtälö

$x^{2}+6\geq 5|x|$

toteutuu, kun

$x\leq -3,-2\leq x\leq +2,x\geq 3$.

Pienempi kuin

Pienempi kuin on kaksipaikkainen relaatio, jota käytetään reaalilukujen vertailuun. Sille käytetään merkkiä $<$. Esimerkiksi lausekkeet $3<5$ ja $-5<-3$ ovat tosia. Relaatiolle on voimassa transitiivisuus, eli jos $a<b$ ja $b<c$, niin $a<c$.

Suurempi tai yhtäsuuri kuin

Suurempi tai yhtäsuuri kuin on myös reaalilukujen kaksipaikkainen relaatio, jota käytetään reaalilukujen vertailuun. Tämä relaatio on esimerkki järjestysrelaatiosta.

Suurempi tai yhtäsuuri kuin -relaatiota merkitään symbolilla ≥. a ≥ b, luetaan a on suurempi tai yhtäsuuri kuin b.

Esimerkki käytöstä: $2\geq 1$, koska $2-1\in \mathbb {N} _{0}$ (N_0).

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Lineaarisen epäyhtälön ratkaiseminen (Arkistoitu – Internet Archive)