Hölderin epäyhtälö

Matematiikassa Hölderin epäyhtälö on mittateoriaan liittyvä epäyhtälö, jota käytetään $L^{p}$-avaruuksien tutkimisessa.

Lause (Hölderin epäyhtälö). Olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus ja olkoot $p,q\in [1,\infty ]$ joille $1/p+1/q=1$. Tällöin kaikille mitallisille reaali- ja kompleksiarvoisille funktioille f ja g on voimassa

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Summaversiolle on olemassa seuraava yleistys: Olkoot $p,q,r>1$ joille $1/p+1/q+1/r=1$ ja $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n}$ kolme jonoa positiivisia reaalilukuja. Tällöin

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}c_{i}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}\right)^{1/q}\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{r}\right)^{1/r}$

Yhtälöstä on myös olemassa erikoistapaus Liapounovin epäyhtälö.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (25, 152 sivua) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7