Yhtälö

Yhtälö on kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus. Yhtälön molemmissa lausekkeissa voi olla yksi tai useampi muuttuja. Silloin lausekkeet ovat yhtä suuret vain, jos näillä muuttujilla on jotkin tietyt arvot. Sen selvittämistä, millä muuttujien arvoilla lausekkeiden arvot ovat samat, sanotaan yhtälön ratkaisemiseksi ja näitä muuttujien arvoja yhtälön ratkaisuiksi.

Matematiikassa yhtälön ratkaisulla tarkoitetaan kaikkia niitä muuttujan eli tuntemattoman arvoja, jotka toteuttavat yhtälön. Samoin differentiaaliyhtälön ratkaisulla tarkoitetaan kaikkia niitä funktioita, jotka toteuttavat differentiaaliyhtälön. Toisinaan näkökohdasta riippuu, onko yhtälöllä ratkaisuja vai ei. Esimerkiksi $x^{2}+1=0$ ei ratkea reaalilukujen joukossa mutta kompleksiluvuilla sillä on kaksi ratkaisua. Yhtälön ratkaisun tai ratkaisujen etsimistä sanotaan yhtälön ratkaisemiseksi.

Yhtälölle ei välttämättä ole olemassa ratkaisua. On myös mahdollista, että yhtälö on voimassa kaikilla muuttujien arvoilla. Sellaista yhtälöä sanotaan identtiseksi. Esimerkiksi yhtälöllä $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+2$ ei ole ratkaisua, kun taas yhtälö $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ on identtisesti tosi. Aina muuttujille ei ole saatavissa lukuarvoa, vaan niille saadaan jonkinlainen lauseke, jolloin vastaus riippuu muista yhtälön muuttujista. Kun muuttujia on vain yksi, sitä merkitään yleensä kirjaimella $x$. Fysiikan sovelluksissa käytetään ratkaistavan suureen symbolia.

Kun yhtälöitä on useita ja ne kaikki ovat voimassa yhtä aikaa, kutsutaan ryhmää yhtälöryhmäksi. Täsmälleen kahden yhtälön ryhmää sanotaan yhtälöpariksi.

Yhtälön molemmilla puolilla olevat lausekkeet voivat sisältää mitä tahansa matemaattisia funktioita. Jos molemmat ovat polynomeja tai niistä lisäksi vain jakolaskun ja juurenoton avulla muodostettuja algebrallisia lausekkeita, on kyseessä algebrallinen yhtälö. Jokainen algebrallinen yhtälö voidaan laskutoimitusten avulla muokata polynomiyhtälöksi, jolla on (alkuperäisen yhtälön määrittelyjoukossa) samat ratkaisut. Polynomiyhtälön aste kertoo, kuinka moneen potenssiin muuttuja suurimmillaan korotetaan. Ensimmäisen asteen yhtälöä sanotaan myös lineaariseksi yhtälöksi.

Esimerkiksi

• $2x+4=3x+8$ on yhden muuttujan ensimmäisen asteen yhtälö.
• $3x^{2}-x+2=-x^{2}-4x+2$ on yhden muuttujan toisen asteen yhtälö.

Yhtälön sieventäminen ja ratkaiseminen

Yhtälön ratkaisun etsimisessä käytetään hyödyksi sääntöjä, joiden avulla annetusta yhtälöstä voidaan aina muokata toinen yhtälö, joka on sen kanssa yhtäpitävä eli jolla on samat ratkaisut.

Annetusta yhtälöstä saadaan aina sen kanssa yhtäpitävä yhtälö esimerkiksi

• lisäämällä sen molemmille puolille sama vakio tai sama lauseke, tai vähentämällä sen molemmilta puolilta sama vakio tai sama lauseke
• kertomalla tai jakamalla sen molemmat puolet samalla vakiolla, joka ei ole nolla
• vaihtamalla yhtälön molemmat puolet keskenään
• siirtämällä jokin yhtälön yhteenlaskettavista sen toiselle puolelle ja muuttamalla sen etumerkki.

Näiden sääntöjen avulla yhtälöä voidaan usein sieventää eli saattaa se yksinkertaisempaan muotoon, jotta sen ratkaisut on helpompi löytää. Ensimmäisen asteen yhtälö eli yhtälö, jonka molemmat puolet ovat ensimmäisen asteen polynomeja, siis muotoa $ax+b=cx+d$, voidaan pelkästään näillä säännöillä yleensä vieläpä muokata muotoon, jossa sen vasemmalla puolella on vain muuttuja ja oikealla puolella luku tai vakiolauseke, joka on samalla yhtälön ratkaisu. Jos kuitenkin edellä esitetyssä muodossa a ja c ovat sama luku, yhtälöllä ei ole ratkaisua, paitsi jos myös b = d, jolloin yhtälö on identtinen.

Käytännössä ratkaisu löydetään seuraavasti: Yhtälön ratkaiseminen:

1. poistetaan sulut suorittamalla merkityt laskutoimitukset
2. siirretään kaikki muuttujatermit yhtälön vasemmalle puolelle, muut oikealle ja vaihdetaan samalla etumerkit
3. yhdistetään samanmuotoiset termit
4. jaetaan yhtälön molemmat puolet muuttujan kertoimella tai kerrotaan muuttujan jakajalla
5. lopuksi sijoitetaan saatu tuntemattoman arvo alkuperäiseen yhtälöön tarkistusta varten.

Jos yhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla lausekkeella, saadaan yhtälö, jonka ratkaisuja ovat alkuperäisen yhtälön ratkaisut sekä lisäksi kertoimena käytetyn lausekkeen nollakohdat. Jos tätä menetelmää käytetään yhtälön ratkaisemiseen, on saadut ratkaisut sen vuoksi tarkistettava.

Yhtälön molempien puolten kertomiseen samalla lausekkeella perustuu myös niin sanottu ristiin kertominen, jonka avulla voidaan usein ratkaista sellaiset yhtälöt, joissa muuttuja on jakajassa. Tämän säännön mukaan yhtälö

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

pätee, jos ja vain jos

$ad=bc$,

eikä kumpikaan jakajista b ja d (jotka voivat olla vakiota tai muuttujan sisältäviä lausekkeita) ole nolla. Näin yhtälö saadaan muotoon, jossa ei ole jakajaa.

Myös korottamalla yhtälön molemmat puolet neliöön saadaan yhtälö, jonka ratkaisuja ovat kaikki alkuperäisen yhtälön ratkaisut, mutta jolla ratkaisuja saattaa olla enemmänkin; ovathan vastalukujen neliöt yhtä suuret.

Toisen asteen yhtälö

Jokainen toisen asteen yhtälö voidaan edellä esitetyillä säännöillä saattaa muotoon

$ax^{2}+bx+c=0,$

missä $a,\ b{\text{ ja }}c$ ovat vakioita. Voidaan osoittaa, että tämän yhtälön ratkaisut ovat

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Korkeamman asteen yhtälöt

Myös kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille on olemassa yleiset ratkaisukaavat, mutta ne ovat niin monimutkaisia, ettei niitä käytännössä juuri sovelleta. On todistettu, ettei viidennen ja sitä korkeamman asteen yhtälöille voida kehittää yleistä ratkaisukaavaa.

Erikoistapauksissa kolmannen tai sitä korkeamman asteen yhtälö on edellä esitettyjen sääntöjen avulla palautettavissa ensimmäisen tai toisen asteen yhtälöiksi, tai se voidaan muuntaa sellaiseen muotoon, että kahden tai useamman ensimmäisen tai toisen asteen polynomin tulo on nolla. Tällöin yhtälön ratkaisuja ovat näiden polynomien nollakohdat. Kaikissa tapauksissa tällaiset muunnokset eivät kuitenkaan ole mahdollisia. Sen vuoksi joudutaan käyttämään numeerisia menetelmiä ratkaisun saamiseksi, koska analyyttinen ratkaisu voi olla mahdoton tai liian työläs. Jos halutaan tietää ratkaisujen määrä, tarvitaan usein differentiaalilaskentaa. Kuitenkin n-asteisella polynomiyhtälöllä voi olla korkeintaan n reaalista ratkaisua. Kun ei käytetä algebrallisia menetelmiä, muunnetaan muotoa $f(x)=g(x)$ oleva yhtälö usein muotoon $h(x)=f(x)-g(x)=0$.

Algebran peruslauseen mukaan kompleksilukujen joukossa jokaisella polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Toisin sanoen jokaisella sellaisella yhtälöllä, jonka toisella puolella on polynomi ja toisella puolella nolla, on ainakin yksi ratkaisu.

Mitä yhtälölle ei saa tehdä?

Erityisesti luvulla nolla ei saa kertoa tai jakaa yhtälöä. Tämä aiheuttaa usein virheitä tilanteissa, joissa jaetaan tai kerrotaan lausekkeella, jonka arvo on nolla. Nollalla jakaminen ei ole sallittua, koska kyseistä toimitusta ei ole määritelty matematiikassa. Nollalla kertominen puolestaan johtaa tulokseen $0=0$, joka kyllä pitää paikkansa muttei kerro varsinaisesti mitään. Nollalla jaettaessa voidaan päätyä outoihin tuloksiin, kuten seuraavasta klassisesta esimerkistä nähdään:

${\begin{aligned}a&=b\qquad |\cdot a\\a^{2}&=ba\qquad |-b^{2}\\a^{2}-b^{2}&=ba-b^{2}\\(a+b)(a-b)&=b(a-b)\qquad |:(a-b)\\a+b&=b\qquad {\mbox{(ensimmäisestä yhtälöstä saadaan}}\quad a=b)\\b+b&=b\qquad |:b\\1+1&=1\\2&=1\\\end{aligned}}$

Yllä olevassa esimerkissä on jokaisessa askeleessa suoritettu operaatio merkitty $|$-merkin oikealle puolelle.

Lopputuloksen valossa on selvää, että jossain kohtaa tehtiin virhe. Virhe oli se, että jaettiin lausekkeella $a-b$. Koska alussa määriteltiin että $a=b$, seuraa että $a-b=0$, joten tapahtui nollalla jakaminen.

Katso myös

• Alfanumeerinen yhtälö
• Differentiaaliyhtälö
• Diofantoksen yhtälö
• Epäyhtälö
• Rekursio
• Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava
• Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
• Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 18 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.