Kolmioepäyhtälö

Matematiikassa kolmioepäyhtälö on lause, jonka mukaan kolmion sivun pituus on vähintään kolmion kahden muun sivun pituuden erotuksen itseisarvo ja korkeintaan yhtä suuri kuin kahden muun sivun pituuden summa.

Kolmioepäyhtälö on voimassa monissa avaruuksissa, kuten reaaliluvuilla, euklidisissa avaruuksissa, Lp-avaruuksissa ja sisätuloavaruuksissa. Se esiintyy myös monissa matemaattisen ja funktionaalianalyysin määritelmissä, kuten esimerkiksi normiavaruuden ja metrisen avaruuden määritelmässä.

Normiavaruus

Normiavaruudessa V kolmioepäyhtälö on muotoa

$||x+y||\leq ||x||+||y||$     kaikilla V:n alkioilla x, y.

Siten vektoreiden summan normi on enintään samojen vektoreiden normien summa.

Reaaliluvut muodostavat normiavaruuden, missä normina on itseisarvo, joten kaikille reaaliluvuille x ja y on voimassa

$|x+y|\leq |x|+|y|.$

Kolmioepäyhtälö on hyödyllinen matemaattisessa analyysissä arvioimaan kahden luvun summan suuruutta. Myös summan alarajalle saadaan arvio. Tätä nimitetään toisinaan käänteiseksi kolmioepäyhtälöksi. Sen mukaan kaikilla reaaliluvuilla x ja y on voimassa

${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x-y|.$

Nämä voidaan yhdistää, jolloin saadaan

${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x\pm y|\leq |x|+|y|.$

Todistus

Lemma

$|x|\leq a\iff -a\leq x\leq a$, missä $a,x\in \mathbb {R} .$

Lemman todistus

$''\implies '':$

$|x|\leq a\iff -a\leq -|x|.$

$\therefore$ itseisarvon määritelmän nojalla $-a\leq -|x|\leq x\leq |x|\leq a.$

$\therefore -a\leq x\leq a.$

$''\Longleftarrow '':$

$-a\leq x\leq a\implies -x\leq a.$

$\therefore$ itseisarvon määritelmän nojalla $|x|\leq a$. $\square$

Olkoon $x,y\in \mathbb {R}$.

Itseisarvon määritelmän nojalla $-|x|\leq x\leq |x|$ ja $-|y|\leq y\leq |y|$.

Kun yhdistetään edelliset epäyhtälöt, saadaan $-(|x|+|y|)\leq x+y\leq (|x|+|y|)$.

$\therefore$ Lemman nojalla $|x+y|\leq |x|+|y|\ (1)$.

Edellä todistetun (1) nojalla $|x|=|x+y-y|\leq |x+y|+|y|$ ja $|y|=|y+x-x|\leq |y+x|+|x|$.

$\therefore$ $|x|-|y|\leq |x+y|$ ja $-|x+y|\leq |x|-|y|$.

$\therefore -|x+y|\leq |x|-|y|\leq |x+y|$.

$\therefore$ Lemman nojalla ${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x+y|$. $\square$

Metrinen avaruus

Jos metrisessä avaruudessa M on annettu metriikka d, on kolmioepäyhtälö muotoa

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$     kaikilla M:n alkioilla x, y ja z. Siten etäisyys x:stä z:aan on enintään yhtä suuri kuin etäisyys x:stä y:hyn ja y:stä z:aan.

Seurauksia

Seuraavat kolmioepäyhtälön seuraukset ovat usein hyödyllisiä. Ne antavat alarajoja ylärajojen sijasta:

${\Big |}||x||-||y||{\Big |}\leq ||x-y||$ tai metriikan termein $|d(x,y)-d(x,z)|\leq d(y,z)$.

Tämän mukaan siis normi $||\cdot ||$, samoin kuin metriikka d(x, –), ovat 1-Lipschitz, ja siten jatkuvia.

Katso myös Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö.

Minkowskin avaruuden kolmioepäyhtälö

Tavallisessa Minkowskin avaruudessa kolmioepäyhtälön suunta kääntyy:

$||x+y||\geq ||x||+||y||$     kaikilla V:n alkioilla x, y joille $||x||\geq 0$, $||y||\geq 0$ ja $t_{x}t_{y}\geq 0$

Esimerkkinä tästä on suppean suhteellisuusteorian kaksosparadoksi.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0