Skalaarikenttä

Skalaarikenttä eli skalaarifunktio on matematiikassa ja fysiikassa käytettävä nimitys reaaliarvoisesta tai kompleksiarvoisesta funktiosta. Skalaarilla tarkoitetaan matematiikassa reaalilukua ($\mathbb {R}$) tai kompleksilukua ($\mathbb {C}$) ja fysiikassa mitattavaa suuretta. Skalaarifunktion lähtöjoukko on vektoriavaruus, joka on yleensä Euklidinen avaruus, ja jonka vektorit eli pisteet kuvautuvat maalijoukossa skalaareiksi. Skalaarikentän eräs laajennus on vektorikenttä, jonka maalijoukon alkiot ovat vektoreita ja joka on siten vektoriarvoinen funktio eli vektorifunktio. Matemaattisesti skalaarikenttä voidaan ilmaista $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ tai $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} .$

Skalaarikenttä on olemassa riippumatta käytetystä koordinaatistosta, jolloin kaikki koordinaatistomuunnokset säilyttävät kentän ominaisuudet.

Esimerkkejä skalaarikentistä

Eräs tapa luokitella skalaarikenttiä on käytettävä lähtöjoukko.

Vektoriavaruus on pinta

Vektoriavaruus voi olla pintana kaksiulotteinen, jolloin jokainen piste määritetään kahdella koordinaatilla. Koordinaatit voidaan järjestää koordinaattipariksi eli kaksipaikkaiseksi vektoriksi, jolloin pisteet voidaan merkitä matematiikassa esimerkiksi $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Kaksiulotteinen pinta voi olla taso, pallo tai mielivaltainen pinta, jolle voidaan virittää toimiva koordinaatisto.

Tasopinnalla toimiva skalaarikenttä voisi olla lumen syvyys pihamaalla tuiskuisan yön jälkeen. Silloin jokaisen pihamaan pisteestä mitataan "kepillä" lumen syvyys ja kirjataan se skalaarifunktion arvoksi. Muita esimerkkejä ovat järven pintaveden lämpötila tai metallilevyn lämpötila eri kohdissa lämmön johtavuuskokeessa. Jos pinta on pallo, kuten esimerkiksi maapallo, voidaan koordinaatistoksi valita pituus- ja leveyspiirin koordinaatit. Pallopinnan skalaarikenttä voi silloin olla esimerkiksi meteorologiassa ilmanpaine, lämpötila ja sademäärä, maanmittauksessa korkeudet merenpinnasta tai fysiikassa putoamiskiihtyvyyden arvo eri pisteissä.

Vektoriavaruus on tila

Tilan koordinaatit vaativat kolme paikkakoordinaattia, jolloin jokainen piste ilmoitetaan merkinnällä $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$. Esimerkiksi huoneen lämpötila sen eri kohdissa on skalaarikenttä. Meteorologiassa ilmakehän lämpötila, paine ja kosteus ovat skalaarikenttiä, samoin fysiikassa kappaleen sähkövarauksen tiheys, sähkökenttä ja sähkövirran tiheys tai planeetan painovoiman potentiaalikenttä sen lähiavaruudessa.

Vektoriavaruus on aika-avaruus

Edelliset skalaarikentät ovat stabiileja kenttiä, mutta jos niiden arvot muuttuvat ajan kuluessa, ovat kentät ei-stabiileja. Jokaisen pisteen koordinaattien lisäksi tarvitaan aikakoordinaatti, joka muuttuessaan ilmaisee muutoksen ajallista jatkumoa. Samassa pisteellä on eri aikoina eri arvo, jolloin tilan koordinaatistoksi tulee valita neljä muuttujaa eli $(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}$, missä viimeinen muuttuja ilmaisee aikaa.

Skalaarikentän kuvaajat

Maaston kartassa korkeudet voidaan merkitä värisävyillä tai korkeuskäyrinä, jossa samaa korkeusarvoa edustavat pisteet yhdistetään toisiinsa tasa-arvokäyriksi. Samaa numeerinen aineisto voidaan kuvata kolmiulotteiseksi korkokuvioksi

• 
  Oikeanpuoleinen kolmiulotteinen kuvaaja on esitetty tasa-arvokäyrillä.
• 
  Vasemmanpuoleinen tasa-arvokäyrien kuvaaja on esitetty kolmiulotteisena kurkokuvana, jossa värit esittävät skalaarin suuruutta.
• 
  Oikeanpuoleinen skalaarikenttä on muutettu arvonsa mukaisesti eri väreiksi.
• 
  Vasemmanpuoleisen skalaarikentän arvot on yhdistetty väri- ja kohokuvioksi.
• 
  Matemaattinen skalaarikenttä $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ on esitetty kolmiulotteisena pintana.

Operaattorit

Erilaisia kenttiä voidaan muuntaa operaattoreilla, jolloin tulokseksi saadaan uusi kenttä, eli skalaari- tai vektorifunktio. Gradientti ilmaisee skalaarikentän suurimman muutoksen suunnan ja suuruuden. Kun skalaarikentästä otetaan gradientti syntyy uusi vektorikenttä. Myös roottori, joka ilmaisee skalaarikentän arvojen "pyörteisyyttä", antaa vektorikentän. Divergenssi taas ilmaisee vektorikentän lähteisyyttä, eli onko vektorivuon tiheys suuri vai pieni, ja sen tuloksena syntyy skalaarikenttä. Skalaarikentän suunnattu derivaatta annetussa suunnassa on edelleen skalaarikenttä. Laplacen operaattori muuttaa vektorikentän toiseksi vektorikentäksi. Gradientti, divergenssi, roottori ja Laplacen operaattori ovat koordinaatistoriippumattomia kenttiä. Esimerkki operaattoreiden keskinäisistä riippuvuuksista on funktion f skalaaripotentiaali, joka kuvaa vektorikentän u skalaarikentäksi, jolloin u on funktion f gradientti.

Katso myös

• Koordinaattijärjestelmä
• Monisto

Lähteet

• Ruohonen, Keijo: Vektorikentät (Arkistoitu – Internet Archive), Tampereen teknillinen yliopisto, 2011
• Helsingin yliopisto: Vektorilaskenta (Arkistoitu – Internet Archive) , Luentomuistiinpanoista: Matemaattiset apuneuvot I ja II (Arkistoitu – Internet Archive), 2010

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9