Konvoluutio

Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion $f\$ ja $g\$ välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion $f*g\$. Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Määritelmä

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

$(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

$(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau .$

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

$(f*g)(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f(k)g(n-k)}$.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

$(f*g)(n)=\sum _{k|n,k>0}{f(k)g(n/k)}\,.$

Konvoluution ominaisuuksia

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

• Assosiatiivisuus

$(h*f)*g=h*(f*g)\,$

• Distributiivisuus

$h*(f+g)=h*f+h*g\,$

• Kommutatiivisuus

$f*g=g*f\,$

• Skalaarimonikerta

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,,\quad a\in \mathbb {R}$

• Konvoluution derivaatta

$D(f*g)=Df*g=f*Dg\,$

Konvoluutioteoreema

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

${\mathcal {F}}\{f(x)*g(x)\}=F(\omega )G(\omega )$,

missä $F(\omega )\$ ja $G(\omega )\$ ovat funktioiden $f(x)\$ ja $g(x)\$ Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.

Kirjallisuutta

• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9