Sijoitusmenetelmä

Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto on integraalilaskennassa usein käytetty, yhdistetyn funktion derivoimissääntöön eli ketjusääntöön perustuva menetelmä annetun funktion integroimiseksi. Sijoitusmenetelmää käytettäessä ikään kuin sovelletaan ketjusääntöä takaperoisesti.

Yhden muuttujan vaihto

Johdanto

Annetun funktion integraalifunktion määrittäminen ei aina ole yksinkertainen tehtävä. Aina integraalifunktiota ei edes voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Joidenkin funktioiden, esimerkiksi polynomien, eksponenttifunktion sekä sinin ja kosinin integraalifunktiot saadaan kuitenkin yksinkertaisesti soveltamalla derivoimissääntöjä takaperin.

Monissa tapauksissa integrointia voidaan tehostaa sopivilla apukeinoilla. Tärkeimpiä tällaisia apukeinoja ovat sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto sekä osittaisintegrointi.

Oletetaan, että funktio f on määritelty välillä Δ ja että F on jokin sen integraalifunktio, toisin sanoen

$F'(x)=f(x)$.

Muuttujan vaihto voidaan suorittaa ottamalla käyttöön apufunktio $u\to f(U)$, joka täyttää seuraavat ehdot:

1. x on jatkuvasti derivoituva välillä δ'
2. x on aidosti monotoninen välillä δ', joten sillä on käänteisfunktio $x\to u(x)$
3. x kuvaa välin δ' välille δ

Jos nämä ehdot täyttyvät, integraalissa

$\int f(x)dx$

voidaan ottaa käyttöön uusi muuttuja sijoituksella x = x(u), missä funktio u -> x(u) täyttää edellä olevat ehdot. Tällöin f(x) on korvattava lausekkeella f(x(t)) ja dx lausekkeella x'(t)dt).

Kun integrointi on suoritettu, on integraalifunktiota määritettäessä palautettava muuttuja x sijoittamalla u = u(x).

Uusi muuttuja u on valittava niin, että saatu funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio.

Kun sijoituksen avulla määritetään määrätty integraali, on myös integroimisrajat muutettava niin, että integroimisvälin ala- ja ylärajoiksi määritetään ne u:n arvot, jotka u saa alkuperäisen, x:n avulla määritellyn integroimisvälin ala- ja ylärajalla.

Määrätty integraali

Olkoon $\phi :[a,b]\to I$ differentioituva funktio, jolla on jatkuva derivaatta, kun $I\subseteq \mathbb {R}$ on jokin väli. Oletetaan lisäksi, että $f:I\to \mathbb {R}$ on jatkuva funktio. Silloin on

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.$

Käytettäessä lausekkeen $u=\phi (x)$ derivaatalle Leibnizin merkintää saadaan:

${\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).$

Käyttämällä heuristisesti infinitesimaaleja saadaan yhtälö

$du=\varphi '(x)\,dx,$,

mistä näyttää seuraavan edellä oleva muunnoskaava. Täsmällisesti se voidaan todistaa tulkitsemalla se differentiaalimuotoja koskevaksi lauseeksi. Integrointia sijoitusmenetelmällä voidaankin käyttää perusteluna Leibnizin käyttöön ottamille derivaatan ja integraalin merkintätavoille.

Tämän lauseen avulla integraali voidaan usein muuttaa toiseksi integraaliksi, joka on helpommin laskettavissa. Kaava voidaankin lukea vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle integraalin yksinkertaistamiseksi. Kun se luetaan vasemmalta oikealle, sitä sanotaan toisinaan u-sijoitukseksi tai w-sijoitukseksi. Silloin uusi muuttuja määritellään alkuperäisen muuttujan funktiona, joka esiintyy funktiossa, joka saadaan kertomalla yhdistetty funktio sisäfunktion derivaatalla. Oikealta vasemmalle kaavaa luetaan lähinnä korvattaessa alkuperäinen muuttuja jollakin uuden muuttujan trigonometrisella funktiolla ja alkuperäinen differentiaali trigonometrisen funktion differentiaalilla.

Todistus

Sijoitusmenettelyn perustana oleva lause voidaan johtaa analyysin peruslauseesta seuraavasti. Olkoot $f$ ja $\phi$ kaksi funktiota, joista $f$ on jatkuva välillä $I$ ja $\phi$ integroituva suljetulla välillä $[a,b]$. Silloin myös funktio $f(\phi (x)\phi (x)$ on integroituva välillä [a, b]. Niinpä integraalit

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx$

ja

$\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du$

ovat molemmat olemassa, ja on vain osoitettava, että ne ovat yhtä suuret.

Koska $f$ on jatkuva, sillä on integraalifunktio $F$. Yhdistetty funktio $Fo\phi$ on silloin määritelty. Koska $\phi$ on differentioituva, yhdistmällä ketjusääntö ja integraalifunktion määritelmä saadaan

$(F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).$

Soveltamalla analyysin peruslausetta kahdesti saadaan:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}$

mikä on juuri sijoitus- eli muuttujanvaihtosääntö.

Esimerkkejä

Esimerkki 1:

Tarkastellaan integraalia

$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.$

Tehdään sijoitus $u=x^{2}+1$, jolloin $du=2xdx$, mikä merkitsee, että $\textstyle xdx={\frac {1}{2}}du$. Niinpä,

${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}$

Koska alaraja $x=0$ korvattiin alarajalla $u=1$ ja yläraja $x=2$ ylärajalla $2^{2}+1=5$, muunnosta takaisin muuttujan $x$ sisältäväksi lausekkeeksi ei tarvita.

Vaihtoehtoisesti voidaan ensin käsitellä määräämätöntä integraalia eli integraalifunktiota niin pitkälle kuin mahdollista ja ottaa reunaehdot huomioon vasta sen jälkeen. Tämä on käytännöllistä varsinkin, jos suoritettavia muuttujanvaihdoksia on useita.

Esimerkki 2:

Integraalille

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,$

on käytettävä edellisen menetelmän muunnelmaa. Sijoitus $x=\sin u$, josta seuraa $dx=\cos udu$, on käyttökelpoinen, koska ${\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos(u)$. Saadaan siis

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos(u)\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\,du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]{\Biggl |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}$

Tuloksena saatu integraali voidaan laskea joko osittaisintegroinnilla tai soveltamalla kaksinkertaisen kulman trigonometrisia funktioita koskevaa yhteyttä $2\cos ^{2}u=1+\cos(2u)$ ja tekemällä toinenkin muuttujanvaihto. Voidaan myös huomata, että integroitava funktio on yksikköympyrän ylempi oikeanpuoleinen neljännes, ja niinpä tämän funktion integraali välillä [0, 1] merkitsee geometrisesti yksikkökiekon neljänneksen pinta-alaa, joka on $\pi /4$.

Integraalifunktio

Sijoitusmenetelmällä voidaan määrittään annetun funktion integraalifunktio eli antiderivaatta. Ensin valitaan muuttujaksi u jokin x:n funktio, minkä jälkeen johdetaan differentiaalille du lauseke dx:n avulla ja päinvastoin sekä suoritetaan muuttujanvaihto. Jos muodostetun u:n funktion integraalifunktio on määritettävissä, sellaiseksi saadaan toinen u:n funktio, joka lopuksi ilmaistaan jälleen x':n funktiona.

Edellä esimerkissä 1 käsitellylle funktiolle voidaan muuttujanvaihdolla määrittää integraalifunktio seuraavasti:

${\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}$

missä $C$ on mielivaltainen integroimisvakio.

Tässä tapauksessa ei ole integroimisrajoja, jotka olisi muunnettava, mutta viimeinen vaihe, jossa alkuperäinen muuttujanvaihto $u=x^{2}+1$ suoritetaan käänteiseen suuntaan, on välttämätön. Kun määrätty integraali lasketaan sijoitusmenetelmällä, onkin ensin muodostettava integraalifunktio ja sitten muutettava integroimisrajat sen mukaisiksi. Sen sijaan pelkästään integraalifunktiota määritettäessä ei integroimisrajojen käsittelyä tarvita.

Tangenttifunktio voidaan myös integroida sijoitusmenetelmällä esittämällä se sinin ja kosinin avulla:

$\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx$

Suoritetaan sijoitus $u=\cos x$, jolloin saadaan $du=-\sin x\,dx$ ja edelleen

${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}$

Muuttujanvaihto useamman muuttujan funktioille

Muuttujanvaihtoa voidaan käyttää myös integroitaessa useamman muuttujan funktioita. Silloin korvausfunktion $v_{1},...,v_{n}=\phi (u_{1},u_{2},u_{n})$ on oltava injektio ja jatkuvasti differentioituva, ja differentiaalit muuntuvat muotoon

$dv_{1}\cdots dv_{n}=|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,du_{1}\cdots du_{n},$

missä $|\det(D\varphi )(u_{1},...,u_{n})$ tarkoittaa funktion $\varphi$ osoittaisderivaattojen Jacobin matriisin determinanttia pisteessä $(u_{1},...,u_{n})$. Tämä kaava ilmaisee sen seikan, että matriisin determinantin itseisarvo on yhtä suuri kuin sen sarakkeiden ja rivien määrittämän parallelotoopin tilavuus.

Täsmällisemmin muuttujanvaihtokaavan ilmaisee seuraava lause:

Lause. Olkoon $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ avoin joukko ja $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ injektiivinen differentioituva funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat ja jonka Jacobin determinantti ei ole nolla missään U:n pisteessä. Silloin jokaiselle reaaliarvoiselle, kompaktissa joukossa määritellylle funktiolle f, jonka määrittelyjoukko sisältyy $\phi (U)$:hun, pätee:

$\int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .$

Lauseen ehtoja voidaan heikentää eri tavoin. Esimerkiksi vaatimus, että $\varphi$:n on oltava jatkuvasti differentoituva, voidaan korvata heikommalla ehdolla, että $\varphi$ on differentoituva ja että sillä on jatkuva käänteisfunktio. Käänteisfunktiolause takaa, että tämä ehto pätee aina, jos $\varphi$ on jatkuvasti differentioituva. Sardin lauseetta soveltamalla voidaan myös poistaa vaatimus, että $D\varphi$:n determinantti ei saa olla nolla.

Lebesgue-mitallisille funktioille lause voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Lause. Olkoon $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ mitallinen joukko ja $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ injektiivinen funktio, ja oletetaan lisäksi, että jokaista pistettä $x\in I$ kohti on olemassa sellainen $\varphi \prime (x)\in \mathbb {R} ^{n,n}$, että $\varphi (y)=\varphi (x)+\varphi \prime (x)(y-x)+o(\|y-x\|)$, kun $y\to x$. (Tässä o(||y-x||) on Landaun symboli). Silloin $\varphi (U)$ on mitallinen, jokaiselle reaaliarvoiselle funktiolle f, joka on määritelty alueessa $\varphi (U)$, pätee:

$\int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du$

siinä mielessä, että jos jompikumpi integraali on olemassa, vaikka olisi ääretönkin, toinenkin on olemassa ja molemmat ovat arvoltaan yhtä suuret.

Toinen hyvin yleinen versio mittateoriassa on seuraava:

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty äärellinen Radonin mitta μ, ja olkoon Y sigma-kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty sigma-äärellinen Radonin mitta ρ. Olkoon $\varphi :X\to Y$ jatkuva ja itseisesti jatkuva funktio, toisin sanoen $\rho (\varphi (E))=0$ aina, kun $\mu (E)=0$. Silloin on olemassa sellainen Borel-mitallinen funktio $w:X\to \mathbb {R}$, että jokaiselle Lebesgue-intergroituvaa funktiota $f:Y\to \mathbb {R}$ vastaava yhdistetty funktio (f ∘ φ) ⋅ w on Lebesgue-integroituva alueessa X ja

$\int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).$

Lisäksi on olemassa sellainen joukossa Y määritelty Borel-mitallinen funktio g, että

$w(x)=(g\circ \varphi )(x)$.

Geometrisessa mittateoriassa integrointia sijoitus­menetelmällä käytetään Lipschitz-funktioille. Jos Lipschitz-funktio on injektiivinen ja sen käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio, Rademacherin lauseen mukaan funktio on differentoituva melkein kaikkialla. Erityisesti tällaisen funktion Jacobin determinantti $\det \varphi$ on melkein kaikkialla hyvin määritelty. Tällaisia funktiota koskee seuraava lause:

Lause Olkoon $U\subset \mathbb {R}$ avoin joukko ja $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ Lipschitz-funktio, jonka käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio. Olkoon lisäksi $f:\varphi (U)\to \mathbb {R}$ mitallinen. Silloin

$\int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx=\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx$

siinä mielessä, että jos jompikumpi integraaleista on olemassa (tai se on ääretön), silloin toinenkin on olemassa ja molemmat integraalit ovat yhtä suuret.

Tämän lauseen esitti konjektuurina ensimmäisenä Euler vuonna 1769 kehittäessään kaksin­kertaisen integraalin käsitteen. Vaikka sen yleisti kolmin­kertaiselle integraalille Lagrange vuonna 1773 ja yleisesti n muuttujalle Mihail Ostrogradski vuonna 1836 ja vaikka sitä sovelsivat Legendre, Laplace ja Gauss, sen onnistui täsmällisesti todistamaan vasta Élie Cartan 1890-luvulla.

Sovellus todennäköisyyslaskentaan

Muuttujanvaihdon avulla voidaan ratkaista seuraava toden­näköisyys­laskennassa tärkeä kysymys: Jos $X$ on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio $p_{X}$ tunnetaan, ja $Y=\phi (x)$ sen avulla määritelty toinen satunnaismuuttuja, mikä on $Y$:n tiheysfunktio?

Vastauksen saamiseksi kannattaa ensin asettaa kysymys hieman toisin: millä todennäköisyydellä $Y$ saa arvon, joka kuuluu tiettyyn osajoukkoon $S$. Käytetään tälle todennäköisyydelle merkintä $P(Y\in S)$. Jos $Y$:n tiheysfunktio tunnetaan ja se on $p_{Y}$, todennäköisyys on tietysti

$P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,$.

Yleensä tätä tiheysfunktiota $p_{Y}$ ei kuitenkaan tunneta, vaan se juuri on määritettävä. Tehtävä voidaan ratkaista tarkastelemalla muuttujaa $X$. Muuttujan $Y$ arvo kuuluu joukkoon $S$, jos ja vain jos $X$ kuuluu joukkoon $\phi ^{-1}(S)$. Niinpä

$P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.$

Vaihtamalla muuttuja $x$ muuttujaan $y$ saadaan:

$P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.$

Yhdistämällä tämä ja ensimmäinen yhtälö saadaan

$\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,$

ja niinpä

$p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.$

Mikäli $X$ ja $Y$ voidaan esittää useamman keskenään riippumattoman satunnaismuuttujan avulla, toisin sanoen jos $p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ja $y=\phi (x)$, $p_{Y}$ saadaan suorittamalla muuttujanvaihto useammalle muuttujalle. Tulos on

$p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.$

Lähteet

• Earl. W. Swokowski: Calculus with analytic geometry (alternate ed.). Prindle, Weber & Schmidt, 1983. ISBN 0-87150-341-7

Katso myös

• Osittaisintegrointi