Integraali

Käyrän y=f(x), x-akselin sekä suorien x=a ja x=b väliin jäävät tasokuviot, joiden pinta-ala yritetään määrittää

Integraali (animaatio)

Matematiikassa ja sen sovelluksissa esiintyy usein tarvetta laskea reaalisen funktion rajoittama pinta-ala tai tilavuus johonkin joukkoon nähden, kuten esimerkiksi koordinaattiakselin välille. Tätä ongelmaa auttamaan on kehitetty integraalin käsite.

Integraalin perusidean tunsivat jo 1600-luvun lopulla Gottfried Leibniz ja Isaac Newton. Heidän käyttämänsä integraalin määritelmä oli kuitenkin matemaattisesti epätäsmällinen, minkä vuoksi käsitteelle on myöhemmin keksitty useita tarkempia määritelmiä. Koulumatematiikassa integraali määritellään nykyään yleensä Bernhard Riemannin 1800-luvulla esittämällä tavalla, jota sanotaan Riemannin integraaliksi, tosin esimerkiksi suomalainen lukio-oppimäärä täydentää tätä Darboux'n integraalillla, joka on ekvivalentti Riemann-integraalin kanssa, mutta intuitiivisempi laskea. Nykyisessä matematiikassa integraalin käsitteelle on kuitenkin kehitetty myös yleistyksiä, jolloin se voidaan määritellä eräille sellaisillekin funktioille, jotka eivät ole Riemannin mielessä integroituvia. Tunnetuin sellainen on mittateoriaan perustuva Lebesguen integraali.

Integraalin käsitteeseen liittyy läheisesti myös integraalifunktion käsite, derivaatan käänteistoimitus. Funktion integraalifunktio on sellainen funktio, jonka derivaatta on annettu funktio. Analyysin peruslauseen mukaan funktion Riemannin integraali kahden pisteen välillä on yhtä suuri kuin sen integraalifunktion näissä pisteissä saamien arvojen erotus.

Integraaleja

• Riemannin integraali, lukiomatematiikassa käytetty integraali
• Bochner-integraali
• Epäoleellinen integraali
• Lebesgue–Stieltjes-integraali
• Mittaintegraali (Lebesguen integraali)
• Pintaintegraali
• Riemann–Stieltjes-integraali
• Tilavuusintegraali
• Viivaintegraali
• Luettelo integraaleista

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).