Keskustelu:Mittaintegraali

Miksipä integraali ohjaisi paremmin Riemannin integraaliin kuin itse aiheeseen? --Hautala 18. syyskuuta 2006 kello 14.45 (UTC)

Artikkelin nimi

Artikkeli käsittelee mittateoreettista Lebesguen integraalia, joka on matemaatikoista hieno asia mutta maallikolle käsittämätön. Maallikolle lukiokurssista tuttu integraali on Riemannin integraali, joka riittää mainiosti tavallisen elämän tarpeisiin. Minusta olisi järkevää, että artikkeli Integraali olisi ohjaus artikkeliin Riemannin integraali ja tämän artikkelin nimi olisi Lebesguen integraali. --Hrrkrr31 8. syyskuuta 2009 kello 23.24 (EEST)

Näin olis varmaan hyvä, Koska tämähän ei tosiaankaan käsittele kovinkaan yleisesti integraalia, vaikka nimi on integraali. Mutta onkohan jotakin muutakin päällekkäisyyttä ja sekavuutta: Lebesguen integraali ohjaa nyt artikkeliin Lebesguen mitta, jossa myös käsitellään Lebesguen integraalia?! Teoreettisempi matematiikka ei ole niin tuttua, joten varsinaiset matemaatikot auttakoon... --Aulis Eskola 8. syyskuuta 2009 kello 23.32 (EEST)

Tuolla Lebesguen mitta -artikkelissa on näköjään vain pieni pätkä Lebesguen integraalista, lähinnä vain määritelmä. Eli se joka hakee Lebesguen integraalia, ei koskaan saa tietää että WP:ssä olisi näinkin laaja esitys kuin tässä artikkelissa! Katsoin artikkelin historiaa, taustalla lienee jokin matemaatikkojen keskinäinen kissanhännänveto nimityksistä, mutta tavallisen lukijan tiedonsaannin kannalta tehdään kyllä karhunpalvelus. --Hrrkrr31 8. syyskuuta 2009 kello 23.41 (EEST)

Laitoin nyt artikkelin alkuun {{tämä artikkeli}} -mallineen. Se varmaan helpottaa suunnistamista integraalien avaruudessa. :-)Kommentin jätti MPorciusCato (keskustelu – muokkaukset)

Tuo jo auttaa. Muutettaisiinko vielä Lebesguen integraali ohjaamaan tähän artikkeliin? --Hrrkrr31 12. syyskuuta 2009 kello 21.11 (EEST)

Olisi kai kuitenkin selvintä tehdä aiheesta Lebesguen integraali oma artikkelinsa ja siirtää suurin osa tämän artikkelin sisällöstä sinne. Tähän integraali-artikkeliin jäisi lähinnä vain aloituskappale, siten muokattuna, että siinä todetaan integraalille olevan useita toisistaan poikkeavia määritelmiä, esimerkiksi jo lukiomatematiikassa esiintyvät integraalifunktio ja Riemannin integraali sekä joitakin myöhemmin kehitettyjä ja kuten Lebesguen integraali, sekä vielä muutamia muitakin. Artikkeli voisi lisäksi sisältää jonkin verran tietoa käsitteen historiasta; olihan Newton esittänyt integraalilaskennan perusideat jo kauan ennen kuin Riemann täsmensi käsitteen määritelmää. -KLS 17. syyskuuta 2009 kello 23.42 (EEST)

Integraalin ymmärtäminen

Tässä artikkelissa integraali ymmärretään pinta-alojen kautta, mutta syvällisemmin integraali on differentiaalilaskennan perustyökalu. Minkä tahansa A * B muotoa olevan laskukaavan toinen suureista, esimerkiksi A, voi olla muuttuva. Pinta-ala on yksi erikoistapaus tästä: siinä laskettavan pinnan raja on muuttuva (tai käyrä). Matematiikan ja fysiikan ongelmissa kohdatataan usein muuttuvia suureita, joten niiden ratkaiseminen edellyttää integrointia. Integraali voidaan määrittää antiderivaattana tai pinta-alana (tai muuna), mutta siinä on kuitenkin loppujen lopuksi kyse muuttuvan suureen tarkastelusta. Muuttuva funktio on itsessään integraali! Kaikkia jatkuvia funktioita voidaan ajatella integraalina. Derivaatta toimii funktion eräänlaisena raamina tai muottina (aivan kuten pinta-alassa, voidaan myös ajatella että derivaatta on funktion suunnitelma tai sääntö). Kun sovellamme integraalia, niin voimme "rakentaa" funktion. Jatkuvilla funktiolla derivaatta on suurimmassa osassa pisteistä erisuuri, joten myös integrointiprosessissa tulee ottaa huomioon huomattava määrä pisteitä (analyyttisessä ratkaisussa äärettömän monta). Integraali on siis kone, joka kokoajan derivaatan avulla "ajaa" funktioita. Tuloksena on itse funktio, joka on myös integraali. Integraali-sana korostaa, että funktio on derivaattansa seuraus. Yleensä ei tosin puhuta derivaatasta vaan käytetään mielummin sanoja tiheys, nopeus jne. Vastaavasti pinta-alalla tai muulla voidaan tarkoittaa integraalia. Nämä kyseiset sanat viittaavat yleensä johonkin tiettyyn asiayhteyteen, vaikka niitä voidaan käyttää myös yleisessä merkitykssä.

Newton aikanaan oivalsi varmasti derivaatan ja integraalin yleisen puolen. Aivan samoin kuten hän ajatteli gravitaation vaikuttavan yleisessä mielessä kaikkialla (myös maapallon ulkopuolella).

88.192.240.199 7. heinäkuuta 2013 kello 13.30 (EEST)