Funktion toispuoleinen raja-arvo
Funktion toispuoleinen raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä, jossa käsitellään jatkuvien yhden muuttujan funktioiden raja-arvolaskentaa. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, funktion toispuoleisella raja-arvoilla tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun luvun lähiympäristössä sen toisella puolella eli lukusuoralla, joko luvun vasemmalla- tai oikealla puolella, pelkästään. Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu) toispuoleisesti kyseisessä kohdassa. Useamman muuttujan funktioilla toispuoleisen raja-arvon sijasta käytetään sen laajennusta, suunnattua raja-arvoa, missä lähestymissuunnat voidaan valita suuntavektorin vastakkaisista suunnista.
Johdanto
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Toispuoleista raja-arvoa voidaan käyttää funktion määrittelyalueen reunapisteessä, missä lähestymistä voi toteuttaa vain alueen sisäpuolelta. Yhden muuttujan funktion suljettu tai avoin määrittelyväli on tällainen esimerkki. Toispuoleisia raja-arvoja voidaan käyttää myös paloittain määriteltyjen funktioiden palojen määrittelyvälien reunoilla tai rajapisteessä.
Funktioiden jatkuvuustarkastelussa funktion arvoa verrataan sen vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvoihin. Funktio on jatkuva, jos molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat keskenään samat ja yhtäsuuret kuin funktion arvo sen kasautumispisteessä. Myös funktion derivoituvuuden tutkiminen voidaan suorittaa kahdella toispuoleisella raja-arvolla, missä haetaan erotusosamäärän arvoja eri suunnissa.
Usean muuttujan funktioiden sekä suunnattujen derivaattojen tutkiminen annetussa vektorisuunnassa tapahtuu toispuoleisten raja-arvojen avulla.
Määritelmä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä luvuille epsilon () ja delta () välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.[1]
Funktion realilukuarvoinen määrittelyjoukko on niin, että on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku p, eli (luku p voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo L kohdassa p, jos kaikilla luvuilla on aina olemassa luku siten, että
Siis, valittiinpa positiivinen luku kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku siten, että kaikilla korkeintaan :n etäisyydellä olevilla luvuilla ovat funktion arvot korkeintaan :n etäisyydellä raja-arvosta L. Toistamalla :n pienentämisen, tulisi myös pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun :n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun .[3]
Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen x ja p erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, x lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.
Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut x ovat lukua p suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua p oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo . Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja
Raja-arvon L yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä.[2][4][5]
Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua p lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut x ovat aina lukua p pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot
Esimerkkejä käytöstä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Raja-arvo välin reunapisteessä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kun funktion raja-arvoa tarkastellaan suljetun välin tai -alueen reunapisteissä, tarvitaan toispuoleista raja-arvoa. Välin sisäpisteissä voidaan lähestyä tarkastelupistettä kummaltakin puolelta, mutta reunapisteissä lähestyminen on mahdollista vain eräistä suunnista. Avoimen välin tai -alueen raja-arvot reunassa ovat samasta syystä ongelmallisia.
Raja-arvon olemassaolo
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Välin tai alueen sisäpisteiden raja-arvo tulisi määritelmän mukaan olla aina sama lähestyttiimpä tarkastelupistettä mistä suunnasta hyvänsä. Raja-arvo on siten olemassa vain, kun kaikki mahdolliset toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja samat.[5][6]
Jatkuvuus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Funktion jatkuvuus tarkastelupisteessä on määritelty niin, että funktion arvo on sama kuin välin molemmat toispuoleiset raja-arvot tai alueen kaikki toispuoleiset raja-arvot.[7]
Toispuoleiset derivaatat
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Funktion toispuoleiset derivaatat määritellään funktion erotusosamäärän toispuoleisilla raja-arvoilla. Jotta funktion derivaatta olisi olemassa, tulee kaikki toispuoleiset raja-arvot olla samoja.[8][9]
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: Pitkä Sigma 7. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9
- Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9
- Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999
Viitteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Burton, David M.: The History of Mathematics: An introduction, s. 558–559. New York: McGraw–Hill, 1997. ISBN 0-07-009465-9 (englanniksi)
- ↑ a b c Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 32–38
- ↑ Barile, Margherita: Epsilon-Delta Definition (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ a b Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 38–47
- ↑ a b c Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 59–63
- ↑ Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 64–68
- ↑ Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 72–86
- ↑ Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 124–131
- ↑ Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 188–191