Toispuoleinen derivaatta

Toispuoleinen derivaatta on matematiikassa yhden muuttujan funktion derivaatta, joka on määritelty erotusosamäärän raja-arvona vain toiselta puolelta tarkastelupistettä. Tällöin käytetään toispuoleista raja-arvoa. Usean muuttujan funktioilla vastaava käsite on suunnattu derivaatta, jossa annetussa suunnassa voidaan myös määrittää toispuoleinen derivaatta tarkastelupisteen läheisyydessä.

Merkintöjä

Funktion normaali derivaatta pisteessä $x_{0}$ voidaan merkitä esimerkiksi $f'(x_{0})$. Funktion vasemmanpuoleinen derivaatta meriktään vastaavasti $f'_{-}(x_{0})$ ja oikeanpuoleinen derivaatta $f'_{+}(x_{0})$. Samat derivaatat voidaan esittää myös merkinnöillä $f'(x_{0}-)$ tai $f'(x_{0}+)$.

Määritelmä

Funktion derivaatan perusmäärritelmä käyttää yleensä toista erotusosamäärän raja-arvoa

$f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Perusmääritelmästä voidaan johtaa oikeanpuoleinen derivaatta erotusosamäärän avulla. Silloin muuttuja lähestyy tarkastelupistettä sen oikeasta suunnasta eli erotusmäärän arvot lasketaan luvuilla, jotka ovat $x_{0}<x$. Tämä merkitään

$f'_{+}(x)=\lim _{x\to x_{0}+}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ .

Vastaava vasemmanpuoleinen derivaatta merkitään

$f'_{-}(x)=\lim _{x\to x_{0}-}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0-}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ .

Siinä lasketaan erotusosamäärän arvot luvuilla $x<x_{0}$, jotka ovat eli tarkastelupistettä lähestytään vasemmalta puolelta.

Käyttö

Derivaatan määritelmä

Derivaatta voidaan määritellä perusmääritelmänsä lisäksi kahden eri suunnasta otetun toispuoleisen raja-arvon avulla. Silloin erotusmäärän toispuoleiset raja-arvot eli toispuoleiset derivatat tulee olla olemassa ja yhtäsuuret. Tämä arvo on samalla derivaatan arvo. Useamman muuttujan funktiolla tietyssä suunnassa otetut toispuoleiset suunnatut derivaatat tulee olla olemassa ja arvoltaan yhtäsuuret.

Derivaatta välin päätepisteessä

Derivaatan perusmääritelmässä tarkastelupistettä tulisi voida lähestyä molemmista suunnista. Mikäli derivaatta määritellään funktion määrittelyjoukon reunapisteen suhteen, ei raja-arvoa voida määrittää kuin yhdestä suunnasta. Jos derivaatta määritetään välin (siis esimerkiksi $\scriptstyle [a,b]$, $\scriptstyle (a,b]$, $\scriptstyle [a,b)$, tai $\scriptstyle (a,b)$) pisteessä $\scriptstyle a$, tulee soveltaa vain oikeanpuoleista raja-arvoa ja tulokseksi saadaan oikeanpuoleinen derivaatta, joka hyväksytään derivaatan arvoksi. Jos derivaatta määritetään pisteessä $\scriptstyle b$, tulee soveltaa vasemmanpuoleista raja-arvoa ja derivaataksi tulee vasemmanpuoleinen derivaatta.

Paloittain määritellyt funktiot

Paloittain määriteltyjen funktioiden lauseke voi olla tarkastelupisteen eri puolilla eri, jolloin kummallekin puolelle on tehdään eri derivaatan määritykset. Toispuoleiset derivaatat määritetään eri funktion lausekkeita käyttäen, vaikka lähestytäänkin samaa tarkastelupistettä.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).