Spiraali

Spiraali eli kierukka on viiva tai kuvio, joka kiertää itseään leikkaamatta monta kierrosta saman keskipisteen tai akselin ympäri. Geometriassa spiraali on tasokäyrä, joka itseään leikkaamatta kiertää äärettömän monta kertaa saman keskipisteen ympäri ja jota pitkin liikkuva piste loittonee koko ajan keskipisteestä tai lähestyy sitä.

Erilaisia spiraaleja

Analyyttisessä geometriassa spiraalien yhtälöt voidaan helpoimmin esittää napakoordinaattien avulla, jolloin r merkitsee etäisyyttä spiraalin keskipisteestä ja θ suuntakulmaa. Tällöin etäisyys r on suuntakulman θ suhteen jokin monotonisesti kasvava tai vähenevä funktio. Myös ympyrä voidaan käsittää spiraalin rajatapaukseksi, jossa etäisyys r on vakio.

Tärkeimpiä spiraaleja ovat:

• Arkhimedeen spiraali, jonka sisäkkäiset kierrokset ovat yhtä etäällä toisistaan. Sen yhtälö on r = a + bθ.
• Logaritminen spiraali leikkaa kaikki spiraalin keskipisteen kautta kulkevat suorat yhtä suuressa kulmassa. Sen yhtälö on r = ab^θ.
• Fibonaccin spiraali ja kultainen spiraali ovat logaritmisen spiraalin erikoistapauksia.
• Klotoidi on käyrä, jonka kaarevuus (1/R) muuttuu suoraviivaisesti. Klotoidia käytetään rautateiden ja maanteiden kaarteisiin tarvittavien siirtymäkaarien geometrian mitoitukseen.
• Hyperbolinen spiraali: $r=a/\theta$
• Fermat’n spiraali: $r=\theta ^{1/2}$

Logaritmisen spiraalin ja sen keskipisteen kautta kulkevan suoran keskipisteen samalla puolella olevat leikkauspisteet muodostavat logaritmisen asteikon. Tätä spiraalia muistuttavia kuvioita on luonnossakin, esimerkiksi simpukoiden kuorissa.

Kuvia spiraaleista

• 
  Arkhimedeen spiraali
• 
  Logaritminen spiraali
• 
  Klotoidi
• 
  Hyperbolinen spiraali
• 
  Fermat’n spiraali

Katso myös

• Kierre

Kirjallisuutta

• Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 – 206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461–476 [1] (Arkistoitu – Internet Archive).
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [2] (Arkistoitu – Internet Archive).
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [3].
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515–527 [4].
• A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5].
• A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 [6] (Arkistoitu – Internet Archive).
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166 – 171 [7] (Arkistoitu – Internet Archive).
• Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69–78 [8].
• Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573–581 [9].
• Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601–606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896–905 [10] (Arkistoitu – Internet Archive).
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (9–10), 477–486 [11] (Arkistoitu – Internet Archive).
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129 – 140 [12].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines, Computer-Aided Design 44(6), 591–596 [13].
• Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518 [14].
• Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design. European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15].