Sähkömagnetismi suhteellisuusteoriassa

Sähkömagnetismi suhteellisuusteoriassa käsittelee kysymystä siitä, miten erityinen suhteellisuusteoria vaikutti nykyiseen teoriaan sähkömagnetismista ja elektro­dynamiikasta. Suhteellisuusteoria osoitti ensinnäkin, miten sähkö­magneettiset, erityisesti sähkö- ja magneetti­kenttiä kuvaavat suureet riippuvat havaitsijan liiketilasta Lorentz-muunnoksen mukaisella tavalla. Toiseksi se johti entistä syvälli­sempään käsitykseen siitä, miten sähkö ja magnetismi liittyvät toisiinsa ja osoitti, millä tavoin käytetty vertailu­järjestelmä vaikuttaa siihen, mitkä ilmiöt oli käsitetty sähköisiksi, mitkä magneettisiksi. Jo aikaisemmin oli esimerkiksi tiedetty, että johteeseen syntyi yhtä suuri virta, liikkuipa johde magneetin läheisyydessä tai magneetti yhtä suurella nopeudella johteen läheisyydessä, mutta näitä pidettiin kahtena eri ilmiönä, kun taas suhteellisuus­teoria osoitti, että kysymys on samasta ilmiöstä. Kolmanneksi se tarjosi mahdolliseksi ilmaista sähkö­magnetismin lait lyhemmässä muodossa kovarianttien tensorien avulla.

Suhteellisuus­teoria saikin alkunsa sähkö­magnetismin lakien luonnetta koskeneesta pohdinnasta. Vuonna 1865 James Clerk Maxwell oli jo tiivistänyt sähkö­magnetismin teorian neljäksi yhtälöksi, Maxwellin yhtälöiksi. Ennen suhteellisuus­teoriaa vallitseva käsitys kuitenkin oli, että nämä yhtälöt pätevät sellaisenaan vain maailmaneetterin koordinaatistossa, joka myös samastettiin Newtonin olettaman absoluuttinen avaruuden kanssa. Tässä suhteessa sähkö­magnetismin lait olisivat kuitenkin selvästi poikenneet klassisen mekaniikan laeista, jotka olivat samat kaikissa tasaisessa liikkeessä olevissa inertiaali­järjestelmissä. Erityinen suhteellisuus­teoria sitä vastoin osoitti, että myös sähkö­magnetismin lait ovat samat kaikissa inertiaali­järjestelmissä. Itse asiassa Einsteinin ensimmäisen suhteellisuusteoriaa koskeneen, vuonna 1905 julkaistun artikkelin otsikkona olikin Liikkuvien kappaleiden elektro­dynamiikasta (saks. Zur Elektro­dynamik bewegter Körper), ja yli puolet artikkelista käsitteli kysymystä siitä, miten Maxwellin yhtälöt muuntuvat siirryttäessä vertailu­järjestelmästä toiseen.

Kenttien muunnokset inertiaalijärjestelmien välillä

Sähkökentän voimakkuus ja magneettivuon tiheys

Seuraavassa oletetaan kaksi inertiaalijärjestelmää, S ja S', joista S' liikkuu S:n suhteen nopeudella v. Sähkö­kentän voimakkuudelle ja magneetti­vuon tiheydelle sellaisena, kuin ne ovat mitattavissa inertiaalijärjestelmässä S, käytetään seuraavassa merkintöjä E ja B; vastaavat arvot inertiaalijärjestelmässä S' ovat E' ja B'. Lisäksi käytetään kenttä­vektorien liikkeen suuntaisille komponenteille merkintöjä ${\stackrel {\mathbf {E} _{\parallel }}{}}$ ja ${\stackrel {\mathbf {B} _{\parallel }}{}}$, liikettä vastaan kohtisuorille komponenteille taas merkintöjä ${\stackrel {\mathbf {E} _{\bot }}{}}$ ja ${\stackrel {\mathbf {B} _{\bot }}{}}$ Sähkö­kentän voimakkuuden ja magneetti­vuon tiheyden välillä eri vertailu­järjestelmissä on yhteys:

${\begin{aligned}&\mathbf {{E}_{\parallel }} '=\mathbf {{E}_{\parallel }} \\&\mathbf {{B}_{\parallel }} '=\mathbf {{B}_{\parallel }} \\&\mathbf {{E}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\&\mathbf {{B}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}$

missä $\gamma$ on Lorentzin tekijä:

$\gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/{c}^{2}}}}$

ja c valonnopeus. Muunnokset käänteiseen suuntaan ovat muutoin samat paitsi että v on korvattava -v:llä.

Jos liike tapahtuu x-akselin suunnassa, voidaan kenttävektorien eri koordinaattiakselien suuntaisten komponenttien muunnokset esittää myös muodossa:

${\begin{aligned}&E'_{x}=E_{x}\\&E'_{y}=\gamma (E_{y}-vB_{z})\\&E'_{z}=\gamma (E_{z}+vB_{y})\\&B'_{x}=B_{x}\\&B'_{y}=\gamma (B_{y}+{\frac {vE_{z}}{c^{2}}})\\&B'_{x}=\gamma (B_{z}-{\frac {vE_{y}}{c^{2}}})\\\end{aligned}}$

Vaihto­ehtoisesti ja yhtäpitävästi voidaan yhtälöt esittää myös muodossa:

${\begin{aligned}&\mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\&\mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}$

missä v̂ on nopeuden suuntainen yksikkövektori.

Näistä yhtälöistä seuraa, että vaikka jompikumpi kentistä olisi nolla jossakin vertailu­järjestelmässä, se ei välttämättä ole nolla kaikissa vertailu­järjestelmissä. Jos edellä mainitussa vertailu­järjestelmässä S esimerkiksi sähkö­kenttä on nolla, järjestelmässä S' niin ei ole laita, mikäli järjestelmässä B magneetti­kenttä ei ole nolla.

Tämä ei merkitse, että eri vertailu­järjestelmissä havaittaisiin eri ilmiöt, joskin samat ilmiöt on kuvattava eri tavoin. Sähkö- ja magneetti­kenttä eivät olekaan erillisiä, toisistaan riippumattomia käsitteitä, vaan saman fysikaalisen perus­olion, sähkö­magneettisen kentän eri ilmenemis­muotoja. Sitä ei voida abso­luuttisesti jakaa sähkö- ja magneetti­kenttään, vaan jako riippuu varauksen liikkeestä havaitsijan suhteen. Samoin eivät sähköinen ja magneettinen vuoro­vaikutus ole kaksi eri ilmiötä vaan ne ovat sähkö­magneettisen vuoro­vaikutuksen eri puolia.

Sähkökentän muunnoskaavojen johto

Sähkövaraus on suhteellisuus­teoriankin mukaan invariantti, riippumaton käytetystä vertailu­järjestelmästä.

Oletetaan, että vertailu­järjestelmässä S' on levossa kaksi sähkö­varausta, Q ja q. Tässä vertailu­järjestelmässä niiden välillä havaitaan vain sähköinen vuoro­vaikutus. Jos varauksen Q aiheuttaman sähkö­kentän voimakkuus varauksen q kohdalla on E, varaukseen q kohdistuu voima

${F}=q{E}$,

jonka eri akselien suuntaiset komponentit ovat:

${\begin{aligned}&F_{x}=qE_{x}\\&F_{y}=qE_{y}\\&F_{z}=qE_{z}\\\end{aligned}}$

Oletetaan lisäksi, että vertailu­järjestelmä S liikkuu S':n suhteen x-akselin suuntaan nopeudella v. Tässä vertailu­järjestelmässä molemmat varaukset ovat liikkeessä. Näin ollen varaus Q saa aikaan sähkö­kentän lisäksi myös magneetti­kentän. Koska myös varaus q on liikkeessä nopeudella -v, siihen kohdistuva voima on

${f}=q({E}-{v}\times {B})$,

jonka eri akselien suuntaiset komponentit ovat:

${\begin{aligned}&F'_{x}=qE'_{x}\\&F'_{y}=q(E'_{y}+vB'_{z})\\&F'_{z}=q(E'_{z}-vB'_{y})\\\end{aligned}}$

Lorentzin muunnoksen avulla voidaan voimille johtaa muunnos­kaavat:

${\begin{aligned}&F'_{x}=F_{x}\\&F'_{y}={\frac {F_{y}}{\gamma }}\\&F'_{z}={\frac {F_{z}}{\gamma }}\\\end{aligned}}$,

kun havaitsija on levossa järjestelmässä S' ja liikkuu nopeudella S järjestelmän S suhteen.

Kun nämä sijoitetaan voimaa järjestelmässä S' kuvaaviin lausekkeisiin, saadaan:

${\begin{aligned}&E'_{x}={\frac {F_{x}}{q}}=E_{x}\\&E'_{y}={\frac {E_{y}-vB_{z}}{\gamma }}\\&E'_{z}={\frac {E_{z}-vB_{y}}{\gamma }}\\\end{aligned}}$

eli täsmälleen edellä mainitut sähkökentän komponenttien muunnos­kaavat.

Vastaavan­laisella mutta hieman työläämmällä tarkastelulla voidaan johtaa myös magneetti­kentän kompo­nenttien muunnos­kaavat.

Muunnos­kaavat voidaan ilmaista tiiviimmässä muodossa käyttämällä jäljempänä määriteltyä kovarianttia sähkö­magneettista tensoria.

Sähkövuon tiheys ja magneettikentän voimakkuus

Sähkövuon tiheys ja magneettikentän voimakkuus tyhjiössä saadaan sähkö­kentän voimakkuuden ja magneetti­vuon tiheyden avulla seuraavasti:

$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,$

missä $\epsilon _{0}$ on sähkövakio ja $mu_{0}$ magneettivakio. Kun näiden vakioiden ja valonnopeuden välillä on yhteys

$c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}$,

saadaan näille kenttävektoreille muunnoskaavat:

${\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}$

Potentiaalit

Vastaavat muunnokset voidaan johtaa myös sähköiselle potenti­aalille φ ja magneettiselle potenti­aalille A:

${\begin{aligned}&\varphi '=\gamma (\varphi -vA_{\parallel })\\&A_{\parallel }'=\gamma (A_{\parallel }-v\varphi /c^{2})\\&A_{\bot }'=A_{\bot }\end{aligned}}$

missä $\scriptstyle A_{\parallel }$ magneettisen potentiaalin A vertailu­järjestelmien välisen suhteellisen nopeuden v suuntainen komponentti ja $\scriptstyle A_{\bot }$ sitä vastaan kohti­suora komponentti. Nämä muistuttavat muodoltaan muita Lorentzin muunnoksia kuten ajan ja sijainnin sekä energian ja liikemäärän välisiä, kun taas edellä esitetyt kenttä­voimakkuuksien ja vuon­tiheyksien muunnokset ovat hieman mutkikkaampia­kin. Nämä komponentit voidaan yhdistää seuraavasti:

${\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\dfrac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +(\gamma -1)(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\varphi }'&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}$

Varaus- ja virrantiheys

Samaan tapaan voidaan varaus­tiheydelle ρ ja virran­tiheydelle J johtaa muunnokset,

${\begin{aligned}&J_{\parallel }'=\gamma (J_{\parallel }-v\rho )\\&\rho '=\gamma (\rho -vJ_{\parallel }/c^{2})\\&J_{\bot }'=J_{\bot }\end{aligned}}$

Näiden komponentit voidaan yhdistää seuraavasti:

${\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\rho }'&=\gamma (\rho -\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} /c^{2})\end{aligned}}$

Epärelativistiset likiarvot

Kun vertailu­järjestelmien suhteellinen nopeus v on paljon pienempi kuin valon­nopeus c, on Lorentzin kerroin γ ≈ 1. Tällöin yhtälöt yksin­kertaistuvat muotoon:

${\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {j} '&\approx \mathbf {j} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \left(\rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}$

niin että Maxwellin yhtälöissä ei ole tarpeen erottaa toisistaan paikka- ja aika­koordinaatteja.

Sähkön ja magnetismin yhteys

»Yhtä osaa liikkuvien varausten välisestä voimasta sanotaan magneettiseksi voimaksi. Todellisuudessa se on yksi näkökulma sähköiseen ilmiöön.»
(Richard Feynman)

Magnetismin johto sähköstatiikasta

Riippuu valitusta vertailu­järjestelmästä, onko jokin sähkö­magneettinen ilmiö katsottava sähkö­staattiseksi vai magneettiseksi.

Kuten edellä osoitettiin, magnetismi voidaankin johtaa sähkö­statiikasta, kun erityinen suhteellisuus­teoria ja varauksen invarianssi otetaan huomioon. Esimerkiksi Richard Feynmanin teoksessa The Feynman Lectures on Physics on tällä tavoin johdettu lauseke sille magneettiselle voimalle, jonka liikkuva varaus kohdistaa lähellä olevaan virta­johtimeen.

Kenttät eri vertailujärjestelmissä

Edellä esitetyt muunnokset osoittavat, että mikä yhdessä vertailu­järjestelmässä havaitaan sähkö­kenttänä, saatetaan toisessa vertailu­järjestelmässä havaita magneetti­kenttänä, ja päin­vastoin.. Tämä ilmaistaan usein sanomalla, että sähkö- ja magneettikentät ovat saman perusilmiön, sähkö­magneettisen kentän, eri puolia. Itse asiassa koko sähkö­magneettinen kenttä voidaan jäljempänä selitetyllä tavalla ilmaista yhdellä toisen kerta­luvun tensorilla, jota sanotaan sähkö­magneettiseksi tensoriksi.

Liikkuvan magneetin ja johteen ongelma

Kuuluisa esimerkki siitä, miten sähköiset ja magneettiset ilmiöt liittyvät toisiinsa eri vertailu­järjestelmistä, on "liikkuvan magneetin ja johteen ongelma", johon Einstein vuonna 1905 viittasi erityistä suhteellisuus­teoriaa käsitelleessä artikkelissaan.

Jos johde liikkuu tasaisella nopeudella paikoillaan olevan magneetin kentässä, siihen syntyy pyörre­virtoja, jotka saa aikaan johteen elektronei­hin kohdistuva magneettinen voima. Jos taas johde on levossa ja magneetti liikkuu, klassisen sähkö­magneettisen teorian mukaan johteeseen syntyvät täsmälleen samat pyörre­virrat, mutta nyt ne saakin aikaan muuttuvan magneetti­kentän indusoima sähkö­kenttä ja sen aiheuttama sähköinen voima. Vasta suhteellisuus­teoria osoitti, että kysymys on kummassakin tapauksessa todellisuudessa samasta ilmiöstä.

Kovariantti muotoilu tyhjiössä

Klassisen elektro­dynamiikan lait voidaan matemaattisesti kirjoittaa täysin kovariantissa muodossa. Seuraavassa se tehdään ainoastaan siinä muodossa, jossa lait pätevät tyhjiössä. Käytetään siis Maxwellin yhtälöiden mikro­skooppista muotoilua, jossa ei esiinny materiaalien makro­skooppisia ominaisuuksia kuten permit­tiivi­syyttä, ja lait ilmaistaan tässä SI-yksiköissä.

Tässä käytetään Einsteinin notaatiota ja Einsteinin summaussääntöä. Minkowskin metriselle tensorille η käytetään metrisiä etu­merkkejä (+ − − −).

Kenttätensori ja nelivirta

Edellä esitetyt suhteellisuus­teoreettiset muunnokset siihen, että sähkö- ja magneetti­kentät voidaan yhdistää mate­maattiseksi objektiksi, jossa on kuusi komponenttia, anti­symmetriseksi toisen kerta­luvun tensoriksi tai bivektoriksi. Sitä sanotaan sähkö­magneettiseksi kenttä­tensoriksi, ja sille käytetään tavallisesti merkintää F^μν. Matriisimuodossa se on:

$F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

missä c on valonnopeus - luonnollisissa yksiköissä c = 1.

Sähkö- ja magneetti­kentät voidaan yhdistää anti­symmetriseksi tensoriksi toisinkin, korvaamalla suureet seuraavasti: E/c → B ja B → − E/c, jolloin saadaan duaalinen tensori G^μν.

$G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}$

Erityisessä suhteellisuus­teoriassa nämä molemmat muuntuvat Lorentzin muunnoksella seuraavasti:

$F'^{\alpha \beta }=\Lambda ^{\alpha }{}_{\mu }\Lambda ^{\beta }{}_{\nu }F^{\mu \nu }$,

missä Λ^α_ν on Lorentzin muunnos­tensori siirryttäessä vertailu­järjestelmästä toiseen. Samaa tensoria käytetään summauksessa kahteen kertaan.

Kenttien lähteet, varaus- ja virrantiheys, yhdistyvät myös nelivektoriksi

$J^{\alpha }={\begin{pmatrix}c\rho &J_{x}&J_{y}&J_{z}\end{pmatrix}}$,

jota sanotaan neli­virraksi.

Maxwellin yhtälöt tensorimuodossa

Näiden tensorien avulla Maxwellin yhtälöt supistuvat muotoon:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}=\mu _{0}J^{\beta }\\&{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}=0\end{aligned}}$

missä osittais­derivaatat voidaan kirjoittaa useilla eri tavoilla. Näistä yhtälöistä ensimmäinen vastaa sekä Gaussin lakia sähkö­kentille (aika­koordi­naatin β = 0 osalta) että Ampèren-Maxwellin lakia (paikka­koordi­naattien β = 1, 2, 3 osalta), toisin sanoen Maxwellin ensimmäistä ja neljättä yhtälöä. Toinen näistä yhtälöistä vastaa kahta muuta Maxwellin yhtälöistä, Gaussin lakia magneetti­kentille (koordi­naatin β = 0 osalta) ja Faradayn lakia (koordi­naattien β = 1, 2, 3 osalta).

Nämä tensori­yhtälöt ovat täysin kovariantteja siinä mielessä, että indeksien asemasta voidaan todeta yhtälöt kovarianteiksi. Tämä Maxwellin yhtälöiden lyhyt muoto kuvastaa monien fyysikoiden käsitystä, jonka mukaan fysiikan lait saadaan tensorien avulla yksin­kertaisempaan muotoon.

Yhtälöt voidaan muuntaa myös sellaiseen muotoon, että F^αβ:n sijasta niissä esiintyy F_αβ:

$F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }$

Tällöin jälkimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa F_αβ:n avulla seuraavasti:

$\epsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0$

missä $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }$ on kovariantti Levi-Civita-symboli. Huomattava on, että tässä yhtälössä esiintyy indeksien syklinen permutaatio: ${\begin{array}{rc}&\scriptstyle {\alpha \,\,\longrightarrow \,\,\beta }\\&\nwarrow _{\gamma }\swarrow \end{array}}$.

Toinen kovariantti sähk­ömagneettinen suure on sähkömagneettinen jännitys-energiatensori, kovariantti toisen kerta­luvun tensori, johon sisältyvät Poyntingin vektori, Maxwellin jännitystensori ja sähkö­magneettinen energian­tiheys.

Nelipotentiaali

Sähkömagneettinen kenttätensori voidaan kirjoittaa myös muotoon

$F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,$

missä

$A^{\alpha }=(\varphi /c,A_{x},A_{y},A_{z})\,,$

on nelipotentiaali ja

$x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)$

nelipaikkavektori.

Käyttämällä nelipotentiaalia Lorentzin vertailujärjestelmässä saadaan toinen täysin kovariantti muotoilu, jossa esiintyy vain yksi yhtälö, yleistys Bernhard Riemannin ja Arnold Sommerfeldin esittämästä Riemannin-Sommer­feldin yhtälöstä, tai Maxwellin yhtälöiden kovariantti muoto ):

$\Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$

missä $\Box$ on d'Alembertin operaattori, Laplacen operaattorin vastine neli­vektoreille.